Để chứng minh các biểu thức không âm với \(x\) và \(y\), ta có thể sử dụng phương pháp xét dấu và hoàn thành bình phương.

### a) Xét biểu thức \(f(x) = x^2 - 8x + 20\)

1. **Hoàn thành bình phương**:
\[
f(x) = (x^2 - 8x + 16) + 4 = (x - 4)^2 + 4
\]
2. **Xét biểu thức**:
- \((x - 4)^2\) luôn không âm (≥ 0) với mọi \(x\).
- Thêm vào đó là 4, nên \(f(x) \geq 4 > 0\).

Vậy \(f(x) \geq 0\) với mọi \(x\).

---

### b) Xét biểu thức \(g(x, y) = x^2 + 5y^2 + 2x + 6y + 34\)

1. **Hoàn thành bình phương**:
- Đầu tiên, xét phần \(x\):
\[
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
\]
- Xét phần \(y\):
\[
5y^2 + 6y = 5\left(y^2 + \frac{6}{5}y\right) = 5\left(\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 - \frac{9}{25}\right) = 5\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 - \frac{9}{5}
\]

2. **Thay lại vào biểu thức**:
\[
g(x, y) = (x + 1)^2 - 1 + 5\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 - \frac{9}{5} + 34
\]
\[
= (x + 1)^2 + 5\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 + 34 - 1 - \frac{9}{5}
\]
\[
= (x + 1)^2 + 5\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 + \frac{160}{5} - \frac{9}{5}
\]
\[
= (x + 1)^2 + 5\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 + \frac{151}{5}
\]

3. **Xét biểu thức**:
- \((x + 1)^2 \geq 0\) và \(5\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 \geq 0\).
- Cộng với \(\frac{151}{5} > 0\).

Vậy \(g(x, y) \geq 0\) với mọi \(x, y\).

### Kết luận:
- Biểu thức \(x^2 - 8x + 20\) không âm với \(x\).
- Biểu thức \(x^2 + 5y^2 + 2x + 6y + 34\) không âm với \(x\) và \(y\).