Để chứng minh rằng \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{101} \) chia hết cho 13, ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

### Bước 1: Tính tổng \( A \)

Cấp số nhân đầu tiên với \( a = 1 \), \( r = 3 \), và số hạng cuối cùng là \( n = 101 \):

\[
A = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r} = \frac{1(1 - 3^{102})}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{102}}{-2} = \frac{3^{102} - 1}{2}
\]

### Bước 2: Chứng minh \( A \equiv 0 \mod 13 \)

Chúng ta cần chứng minh \( 3^{102} - 1 \equiv 0 \mod 26 \) (vì \( 2A = 3^{102} - 1 \), do vậy \( A \equiv 0 \mod 13 \) nếu \( 3^{102} - 1 \equiv 0 \mod 26 \)).

### Bước 3: Tính \( 3^{102} \mod 26 \)

Áp dụng định lý Fermat, nhận thấy \( 3^{12} \equiv 1 \mod 13 \) vì 3 và 13 là nguyên tố cùng nhau.

- \( 102 \mod 12 = 6 \)

Vì vậy:

\[
3^{102} \equiv 3^6 \mod 13
\]

Tính \( 3^6 \):

\[
3^2 = 9
\]
\[
3^4 = 9^2 = 81 \equiv 3 \mod 13
\]
\[
3^6 = 3^4 \cdot 3^2 \equiv 3 \cdot 9 = 27 \equiv 1 \mod 13
\]

=> \( 3^{102} \equiv 1 \mod 13 \)

### Kết luận

Vì:

\[
3^{102} - 1 \equiv 0 \mod 13 \implies A \equiv 0 \mod 13
\]

Do đó, \( A \) chia hết cho 13.