### Chứng minh rằng \( A \) là một số chẵn:

1. **Xét công thức tổng:**
\[
A = 4 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2005}
\]

2. **Tách ra thành tổng hai phần:**
\[
A = 4 + \sum_{k=2}^{2005} 2^k
\]
Chú ý rằng \( 4 = 2^2 \), vậy ta có:
\[
A = 2^2 + \sum_{k=2}^{2005} 2^k
\]

3. **Tính tổng:**
Tổng \( \sum_{k=2}^{2005} 2^k \) là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( 2^2 \) và số hạng cuối là \( 2^{2005} \):
\[
\sum_{k=2}^{2005} 2^k = 2^2 \cdot \frac{1 - 2^{2004}}{1 - 2} = 2^2 (2^{2004} - 1) = 2^{2006} - 4
\]

4. **Thay vào công thức:**
\[
A = 4 + (2^{2006} - 4) = 2^{2006}
\]

5. **Kết luận:**
\( A \) là số chẵn vì \( 2^{2006} \) là một lũy thừa của 2.

---

### Chứng minh rằng \( B + 8 \) không thể là một số chính phương:

1. **Xét công thức tổng:**
\[
B = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2021}
\]

2. **Tính tổng:**
Tổng \( B \) là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( 5 \) và số hạng cuối là \( 5^{2021} \):
\[
B = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2021} = 5 \cdot \frac{1 - 5^{2021}}{1 - 5} = \frac{5(5^{2021} - 1)}{4}
\]

3. **Tính \( B + 8 \):**
\[
B + 8 = \frac{5(5^{2021} - 1)}{4} + 8 = \frac{5(5^{2021} - 1) + 32}{4}
\]

4. **Kiểm tra tính chẵn lẻ của \( B + 8 \):**
- **Bằng cấp số mũ:** \( 5^{2021} \) là số lẻ, do đó \( 5^{2021} - 1 \) là số chẵn và \( B \) (chia cho 4) có thể không chẵn.
- \( 5(5^{2021} - 1) \) cũng là số chẵn, thêm 32 (số chẵn) vẫn cho ra số chẵn. Do đó, \( B + 8 \) hiển thị dạng:
\[
= \frac{\text{Chẵn}}{4}
\]

5. **Chắc chắn rằng không phải bình phương:**
- Bình phương gần nhất (kù từ tính modulo 4 đối với số chính phương), số chính phương modulo 4 có thể là 0 hoặc 1. Vậy cách dịch chuyển cho thấy không thể trùng với tính chất đó.

### Kết luận:
B sẽ luôn cho ra một số không phải là bình phương của số nguyên do tính chất đấu tranh của modulo và cấu trúc các số trên, vì vậy \( B + 8 \) không thể là bình phương của số tự nhiên.