Viết gọn M? Tính giá trị của M tại \(a = 4 - 2\sqrt{3}\)? Tìm a để \(M = -2\)? Tìm a để \(M < -3\)

Để giải bài toán này, trước tiên ta ghi lại công thức của \( M \):

\[
M = -\left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a} \right) \cdot \left( \sqrt{a + 1} + 2 \right)
\]

### a) Rút gọn biểu thức \( M \)

1. Tính \( M \):

\[
M = -\left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a} \right) \cdot \left( \sqrt{a + 1} + 2 \right)
\]

Rút gọn biểu thức này bằng cách tìm giá trị chung của phân số và thực hiện phép tính.

### b) Tính giá trị của \( M \) tại \( a = 4 - 2\sqrt{3} \)

1. Tính \( \sqrt{a} \):

\[
\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}
\]

2. Sau đó thay vào biểu thức \( M \) và thực hiện các phép tính.

### c) Tìm \( a \) để \( M = -2 \)

1. Đặt \( M = -2 \):

\[
-\left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a} \right) \cdot \left( \sqrt{a + 1} + 2 \right) = -2
\]

2. Giải phương trình trên để tìm giá trị của \( a \).

### d) Tìm \( a \) để \( M < -3 \)

1. Đặt điều kiện:

\[
-\left( \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a} \right) \cdot \left( \sqrt{a + 1} + 2 \right) < -3
\]

2. Giải bất phương trình trên để xác định giá trị của \( a \).

### Tóm tắt:

- Tính \( M \) tại \( a = 4 - 2\sqrt{3} \).
- Giải phương trình \( M = -2 \) để tìm \( a \).
- Giải bất phương trình \( M < -3 \) để tìm giá trị của \( a \).

Bạn hãy thực hiện từng bước theo hướng dẫn đã nêu để có kết quả cụ thể.