Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = -x^2 - y^2 \) với điều kiện \( x + y + xy = 15 \), ta có thể sử dụng phương pháp thay thế.

1. Từ điều kiện \( x + y + xy = 15 \), ta có thể biến đổi:
\[
xy = 15 - x - y
\]

2. Thay \( y = 15 - x - xy \):
\[
P = -x^2 - (15 - x - xy)^2
\]

3. Để tìm giá trị tối ưu, ta có thể sử dụng đạo hàm hoặc phương pháp Lagrange multiplier, nhưng trong trường hợp này, ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng cách thử các giá trị.

Tuy nhiên, một cách thực tiễn hơn là sử dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc AM-GM. Sử dụng \( z = x + y \) và phương trình \( z + xy = 15 \):
\[
xy = 15 - z
\]

Rõ ràng là ta có \( z^2 - 4(15 - z) \geq 0 \) cần được thỏa mãn.

Cuối cùng, hãy tính toán để tìm \( P \) nhỏ nhất.

Lên tóm tắt, hãy thử các giá trị hợp lý cho \( x \) và \( y \) để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \). Thực hiện và so sánh giá trị, bạn sẽ tìm ra giá trị nhỏ nhất mà biểu thức \( P \) đạt được.