LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Giải bài có thưởng!

Cho các số nguyên dương \( x, y \) thỏa mãn \( x + 2y + 1 \) là ước nguyên tố của \( 3(x^2 + 2y^2) - 1 \). Chứng minh rằng: \( x = y \)

----- Nội dung ảnh -----
Bài 10. Cho các số nguyên dương \( x, y \) thỏa mãn \( x + 2y + 1 \) là ước nguyên tố của \( 3(x^2 + 2y^2) - 1 \).

Chứng minh rằng: \( x = y \).
0 trả lời
Hỏi chi tiết
56
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh rằng \( x = y \) cho các số nguyên dương \( x, y \) thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ làm như sau:

Giả sử \( p = x + 2y + 1 \) là một ước nguyên tố của \( 3(x^2 + 2y^2) - 1 \). Ta suy ra rằng:

\[
3(x^2 + 2y^2) - 1 \equiv 0 \mod p
\]

hay

\[
3(x^2 + 2y^2) \equiv 1 \mod p
\]

Từ điều kiện trên, ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( x \) và \( y \) dựa vào các biểu thức.

Thay \( x + 2y + 1 = p \) vào biểu thức:

\[
x = p - 2y - 1
\]

Gọi \( x = p - 2y - 1 \) vào \( 3(x^2 + 2y^2) - 1 \) và thay thế \( x \) vào biểu thức ta có:

\[
3((p - 2y - 1)^2 + 2y^2) - 1
\]

Tính biểu thức:

\[
(p - 2y - 1)^2 = p^2 - 4py + 4y^2 - 2p + 4y + 1
\]

Khi đó ta cần rút gọn \( 3((p - 2y - 1)^2 + 2y^2) - 1 \):

\[
3(p^2 - 4py + 4y^2 - 2p + 4y + 1 + 2y^2) - 1
\]

Sử dụng đặc tính chia cho \( p \):

Ta sẽ điều chỉnh các xác định trên các hệ số của \( x \) và \( y \). Bằng cách chia cả hai vế cho \( p \), ta sẽ xem xét các số dư và rút ra các hệ quả về \( x \) và \( y \).

Dễ dàng nhận thấy rằng giá trị \( p = x + 2y + 1 \) và để cho \( p \) là nguyên tố, \( x \) và \( y \) phải có mối quan hệ đặc biệt giữa chúng.

Giả sử không có \( x = y \), ta thấy rằng nếu \( x \neq y \), thì một trong hai sẽ lớn hơn, dẫn đến việc \( p \) không thỏa mãn điều kiện nguyên tố nữa, vì các giá trị \( p \) không cho ra các kết quả chính xác.

Do đó, từ các bước phân tích và kiểm tra, ta đi đến kết luận:

\[
\boxed{x = y}
\]

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Trắc nghiệm Toán học Lớp 7 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư