Để cân bằng phương trình phản ứng hóa học:

\[
xZn + 4yHNO_3 \rightarrow xZn(NO_3)_2 + 2NO + 2yH_2O
\]

Chúng ta cần xác định các hệ số \(x\) và \(y\).

1. **Phân tích các nguyên tố:**
- Bên trái:
- Zn: \(x\)
- H: \(4y\)
- N: \(4y\)
- O: \(12y\) (trong HNO₃)

- Bên phải:
- Zn: \(x\)
- H: \(2y\)
- N: \(2\) (từ \(NO\)) + \(2\) (từ \(Zn(NO_3)_2\)) = \(2 + 4y\)
- O: \(6x + 2y\) (Oxygen from \(Zn(NO_3)_2\) and water)

2. **Thiết lập các phương trình từ các nguyên tố:**
- Đối với Zn:
\[
x = x
\]
- Đối với H:
\[
4y = 2y \quad \Rightarrow \quad 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0
\]
- Đối với N:
\[
4y = 2 + x \quad \Rightarrow \quad 4y - 2 = x
\]
- Đối với O:
\[
12y = 6x + 2y
\]

3. **Giải các phương trình:**
- Nếu \(y = 0\), \(x\) không thể tồn tại.

Giải các phương trình để tìm giá trị \(x, y\):

1. Nếu \(y = 1\):
\[
4y = 4 \quad \text{(H)}
\]
\[
4y - 2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{(N)}
\]
\[
12y = 6x + 2y \quad \Rightarrow \quad 12 = 6 \cdot 2 + 2 \quad \Rightarrow \quad 12 = 12 \quad \text{(O)}
\]

Từ đó, ta có giá trị \(x = 2\) và \(y = 1\).

Vậy các hệ số cân bằng là:

\[
x = 2,\, y = 1
\]

Phương trình cân bằng final sẽ là:

\[
2Zn + 4HNO_3 \rightarrow 2Zn(NO_3)_2 + 2NO + 2H_2O
\]