Để tính sin B và sin C trong tam giác vuông ABC với góc vuông tại A, ta có thể sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông.

### a) Khi \( AB = 13 \, \text{cm} \) và \( BH = 5 \, \text{cm} \):

Ta có:

- Độ dài cạnh đối diện với góc B là \( AH \).
- Độ dài cạnh huyền là \( AB \).

Tính \( AH \):

\[
AH = \frac{AB \cdot BH}{AB} = \frac{13 \cdot 5}{13} = 5 \, \text{cm}
\]

Tính \( AH \):

- Sử dụng định lý Pythagore để xác định độ dài \( AC \):
\[
AC = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm}
\]

Vậy, ta có:
- Cạnh huyền \( AB = 13 \, \text{cm} \)
- Cạnh đối diện với góc B (cạnh AH) \( = 5 \, \text{cm} \)

Tính \( \sin B \):
\[
\sin B = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{13}
\]

Tính \( \sin C \):
\[
\sin C = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}
\]

### b) Khi \( BH = 3 \, \text{cm} \) và \( CH = 4 \, \text{cm} \):

Tương tự, ta có:

- \( AB = AH + BH = AH + 3 \)
- \( AC = AH + CH = AH + 4 \)

Dùng định lý Pythagore với tỉ lệ giữa các cạnh, ta tìm ra \( AH \).

Tính \( sin \):
- Cạnh đối diện với góc B là \( BH \)
- Cạnh huyền là \( AB = BH + CH = 3 + 4 = 7 \, \text{cm} \)

Tính \( \sin B \):
\[
\sin B = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{7}
\]

Tính \( \sin C \):
\[
\sin C = \frac{CH}{AC} = \frac{4}{7}
\]

### Kết quả:
- a) \( \sin B = \frac{5}{13}, \sin C = \frac{12}{13} \)
- b) \( \sin B = \frac{3}{7}, \sin C = \frac{4}{7} \)