Để tính giá trị của biểu thức \( A = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha - 3 \cos^2 \alpha \) khi \( \tan \alpha = 2 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính giá trị của \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\)**:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = 2 \cos \alpha
\]

Gọi \(\cos \alpha = x\), thì \(\sin \alpha = 2x\). Sử dụng hệ thức \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):
\[
(2x)^2 + x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 + x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
Vậy:
\[
\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \alpha = 2 \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

2. **Tính giá trị của biểu thức \( A \)**:
Thay giá trị của \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) vào biểu thức:
\[
\sin^2 \alpha = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5}, \quad \cos^2 \alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5}
\]
\[
A = \frac{4}{5} + 2 \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) - 3 \left(\frac{1}{5}\right)
\]
Tính từng phần:
\[
2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}
\]
\[
-3 \cos^2 \alpha = -3 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{5}
\]
Khi thay vào biểu thức:
\[
A = \frac{4}{5} + \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{4 + 4 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1
\]

3. **Kết quả**:
Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là \( 1 \).