Để giải phương trình \( 55x + 53y = 1981 \) với điều kiện \( \frac{1}{3} < x < \frac{2}{5} \) và \( \frac{1}{3} < y < \frac{2}{5} \), ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Giải phương trình đồng thời**:
- Đầu tiên, ta có thể biến đổi phương trình để tìm một trong các giá trị \( x \) hoặc \( y \). Ví dụ:
\[
53y = 1981 - 55x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1981 - 55x}{53}
\]

2. **Tính giá trị của \( y \)**:
- Để \( y \) là số nguyên, \( 1981 - 55x \) phải chia hết cho \( 53 \). Ta tìm \( x \) sao cho \( 1981 - 55x \equiv 0 \mod{53} \).
- Tính \( 1981 \mod{53} \):
\[
1981 \div 53 \approx 37.5 \quad \Rightarrow \quad 1981 - 37 \times 53 = 1981 - 1961 = 20
\]
Vậy \( 1981 \equiv 20 \mod{53} \).
- Với \( 55x \mod{53} \) thì \( 55 \equiv 2 \mod{53} \), do đó ta có:
\[
2x \equiv 20 \mod{53}
\]
- Chia cả hai vế cho \( 2 \):
\[
x \equiv 10 \mod{53}
\]
Từ đó, \( x = 53k + 10 \) với \( k \) là một số nguyên.

3. **Thay giá trị \( x \) vào**:
- Thay vào \( y \):
\[
y = \frac{1981 - 55(53k + 10)}{53} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1981 - 2915k - 550}{53} = \frac{1431 - 2915k}{53} \quad \Rightarrow \quad y = 27 - 55k
\]

4. **Tìm các giá trị của \( x \) và \( y \)**:
- Bây giờ ta cần tìm các giá trị nguyên \( k \) sao cho:
\[
\frac{1}{3} < 53k + 10 < \frac{2}{5}
\]

- Giải bất phương trình cho \( x \):
\[
0.33 < 53k + 10 < 0.4 \quad \Rightarrow \quad -9.67 < 53k < -9.6 \quad \Rightarrow \quad 0 < k < 0
\]
- Điều này không có nghiệm. Ta sẽ thử với các giá trị cụ thể cho \( k \) và kiểm tra điều kiện \( y \):
\[
y = 27 - 55k
\]

5. **Kiểm tra các giá trị**:
- Với \( k = 0, x = 10, y = 27 \):
\[
55(10) + 53(27) = 550 + 1431 = 1981 \quad \text{(hợp lệ)}
\]
- Kiểm tra điều kiện:
\[
\frac{1}{3} < 10 < \frac{2}{5} \quad \text{(không hợp lệ)}
\]

6. **Kết luận**:
Tiếp tục kiểm tra với các giá trị \( k \) âm hoặc dương sẽ không cho ta giá trị thỏa mãn trong khoảng đã cho. Do đó, không có cặp số nguyên \( (x, y) \) nào thỏa mãn cả phương trình lẫn điều kiện.