Tìm các số nguyên x y, biết 55x + 53y = 1981

Để tìm các số nguyên \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình \(55x + 53y = 1981\) và điều kiện \( \frac{1}{3} < \frac{x}{y} < \frac{2}{5} \), ta sẽ giải bài toán từng bước.

### Bước 1: Giải phương trình

Phương trình có thể viết lại là:

\[
53y = 1981 - 55x
\]

Từ đó, ta có:

\[
y = \frac{1981 - 55x}{53}
\]

Điều kiện để \(y\) là số nguyên là \(1981 - 55x\) phải chia hết cho 53. Ta sẽ tính \(1981 \mod 53\):

\[
1981 \div 53 = 37 \quad (\text{lấy phần nguyên}) \Rightarrow 37 \times 53 = 1961 \Rightarrow 1981 - 1961 = 20
\]

Do đó:

\[
1981 \equiv 20 \mod 53
\]
\[
55x \equiv 20 \mod 53
\]

### Bước 2: Giải đồng dư

Ta có \(55 \equiv 2 \mod 53\), do đó:

\[
2x \equiv 20 \mod 53
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
x \equiv 10 \mod 53
\]

Thay vào đó, ta có thể viết \(x\) dưới dạng:

\[
x = 53k + 10 \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

### Bước 3: Tính \(y\)

Thay giá trị của \(x\) vào \(y = \frac{1981 - 55x}{53}\):

\[
y = \frac{1981 - 55(53k + 10)}{53}
\]
\[
y = \frac{1981 - 2915k - 550}{53} = \frac{1431 - 2915k}{53}
\]
\[
y = 27 - 55k
\]

### Bước 4: Điều kiện \( \frac{1}{3} < \frac{x}{y} < \frac{2}{5} \)

Ta cần kiểm tra điều kiện:

\[
\frac{1}{3} < \frac{53k + 10}{27 - 55k} < \frac{2}{5}
\]

**Giải bất phương trình bên trái:**

\[
\frac{53k + 10}{27 - 55k} > \frac{1}{3}
\]

Giải:

\[
3(53k + 10) > 27 - 55k
\]
\[
159k + 30 > 27 - 55k
\]
\[
214k > -3 \quad \Rightarrow \quad k > -\frac{3}{214}
\]

**Giải bất phương trình bên phải:**

\[
\frac{53k + 10}{27 - 55k} < \frac{2}{5}
\]

Giải:

\[
5(53k + 10) < 2(27 - 55k)
\]
\[
265k + 50 < 54 - 110k
\]
\[
375k < 4 \quad \Rightarrow \quad k < \frac{4}{375}
\]

### Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của \(k\)

Kết hợp hai bất phương trình:

\[
-\frac{3}{214} < k < \frac{4}{375}
\]

Do đó, \(k\) có thể là 0.

### Bước 6: Tính \(x\) và \(y\)

Với \(k = 0\):

\[
x = 10, \quad y = 27
\]

**Kết quả: \( (x, y) = (10, 27) \)**.

Bạn có thể thay lại giá trị \(x\) và \(y\) vào phương trình ban đầu và kiểm tra điều kiện để xác nhận.