Cho abc khác 0 thoả mãn:1/a+1/b+1/c=a+b/c + b+c/a + c+a/b=1/3

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ nghiên cứu các điều kiện đã cho và tìm giá trị của \( A = a + b + c \).

Theo điều kiện bài toán, ta có hai biểu thức:

1. \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)
2. \( \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} = 1/3 \)

Chúng ta bắt đầu từ điều kiện đầu tiên:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc}
\]

Gọi \( S = a + b + c \) và \( P = abc \), thì

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{S}{P}
\]

Bằng cách thay vào điều kiện ban đầu, ta có:

\[
\frac{S}{P} = \frac{1}{3} \quad (1)
\]

Kế đến, xét điều kiện thứ hai:

\[
\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} = \frac{(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2}{abc} - 3
\]

Công thức này được phát triển từ việc sử dụng các biến đổi đại số. Cụ thể, ta có:

\[
\frac{a+b}{c} = \frac{S-c}{c}, \quad \frac{b+c}{a} = \frac{S-a}{a}, \quad \frac{c+a}{b} = \frac{S-b}{b}
\]

Khi thay vào biểu thức, ta chuyển đổi được thành:

\[
\frac{S}{a} + \frac{S}{b} + \frac{S}{c} - 3
= S\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) - 3
\]

Do đó, ta cũng có:

\[
S \cdot \frac{S}{P} - 3 = \frac{1}{3}
\]

Thay từ (1) vào đây, ta có:

\[
S \cdot \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{3}
\]

Giải phương trình trên, ta được:

\[
\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + 3 \implies \frac{S}{3} = \frac{1 + 9}{3} \implies S = 10
\]

Như vậy, giá trị của biểu thức \( A = a + b + c \) là:

\[
\boxed{10}
\]