Định lý "Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì cạnh đó cũng lớn hơn" có thể được chứng minh như sau:

**Giả thuyết**: Cho tam giác ABC, với \( A, B, C \) là ba đỉnh và \( a, b, c \) là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh \( A, B, C \) tương ứng. Giả sử góc \( A \) lớn hơn góc \( B \) ( tức là \( A > B \)).

**Cần chứng minh**: Độ dài cạnh \( BC \) (cạnh đối diện với góc \( A \)) lớn hơn độ dài cạnh \( AC \) (cạnh đối diện với góc \( B \)), tức là \( a > b \).

**Chứng minh**:

1. **Giả sử ngược lại**: Giả sử \( a \leq b \).

2. **Sử dụng định lý tam giác**: Theo định lý tam giác, tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng \( 180^\circ \). Vì vậy, nếu \( A > B \), thì góc \( C \) sẽ phải nhỏ hơn.

3. **Chứng minh qua tỉ lệ**: Trong tam giác \( ABC \):
- Nếu \( A \) lớn hơn \( B \), theo định nghĩa, \( \sin A > \sin B \) (do hàm sin là một hàm tăng trong khoảng \( (0, 180^\circ) \)).
- Từ định lý về tỉ lệ cạnh đối diện góc, ta có:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow a = b \cdot \frac{\sin A}{\sin B}.
\]

4. **Từ đây suy ra**: Vì \( \sin A > \sin B \), điều này dẫn đến:
\[
a = b \cdot \frac{\sin A}{\sin B} > b,
\]
nghĩa là \( a > b \), điều này trái ngược với giả thuyết \( a \leq b \).

5. **Kết luận**: Điều này chứng tỏ rằng giả thuyết ban đầu của chúng ta không thể đúng, và vì vậy ta có thể khẳng định rằng trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn (cạnh \( BC \)) sẽ lớn hơn cạnh đối diện với góc nhỏ hơn (cạnh \( AC \)).

Do đó, ta đã chứng minh định lý: "Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì cạnh đó cũng lớn hơn".