Cho đa thức P(x) = ax³ + bx² + cx + d thoả mãn P(1) = 1, P(2) = 2. Chứng minh rằng P(x) không có nghiệm nguyên

Để chứng minh rằng đa thức \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) không có nghiệm nguyên, ta sẽ xem xét giá trị của đa thức tại \( x = 1, 2 \) và sau đó áp dụng phép chia cho 3.

1. **Sử dụng các điều kiện đã cho:**
- \( P(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d = 1 \)
- \( P(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + d = 2 \)

2. **Biểu diễn phương trình:**
Từ hai phương trình này, ta có hệ phương trình:
\[
a + b + c + d = 1 \quad (1)
\]
\[
8a + 4b + 2c + d = 2 \quad (2)
\]

3. **Giải hệ phương trình:**
Ta trừ phương trình (1) từ (2):
\[
(8a + 4b + 2c + d) - (a + b + c + d) = 2 - 1
\]
Sắp xếp lại, ta có:
\[
7a + 3b + c = 1 \quad (3)
\]

4. **Xét đa thức \( P(x) \) modulo 3:**
Để kiểm tra nghiệm nguyên, ta sẽ thử xem \( P(x) \) có nghiệm nguyên nào không bằng việc xét \( P(n) \) với \( n \) nguyên.

- Nếu \( n = 0 \):
\[
P(0) = d
\]

- Nếu \( n = 1 \):
\[
P(1) = a + b + c + d \equiv 1 \mod 3
\]

- Nếu \( n = 2 \):
\[
P(2) = 8a + 4b + 2c + d \equiv 2 \mod 3
\]

5. **Tính \( P(3) \):**
Tính \( P(3) \):
\[
P(3) = 27a + 9b + 3c + d = d + 3(a + b + c) + 24a + 8b + 2c
\]
Modulo 3, ta có:
\[
27a \equiv 0, \quad 9b \equiv 0, \quad 3c \equiv 0 \mod 3
\]

6. **Kết hợp kết quả:**
Tổng hợp lại:
\[
P(0) + P(1) + P(2) \equiv d + 1 + 2 \equiv d + 3 \equiv d \mod 3
\]

Nếu \( d \equiv 0 \mod 3 \): suy ra \( P(0) \equiv 0 \) và \( 1, 2 \) là không sử dụng được.
Nếu \( d \equiv 1 \mod 3 \): không có giá trị khác, mâu thuẫn với \( P(n) \).
Nếu \( d \equiv 2 \mod 3 \): không có giá trị khác, mâu thuẫn với \( P(n) \).

7. **Kết luận:**
Từ đó, với việc kiểm tra tất cả các khả năng, ta rút ra rằng đa thức \( P(x) \) không thể có nghiệm nguyên.

Vậy ta đã chứng minh rằng \( P(x) \) không có nghiệm nguyên.