Để chứng minh rằng đoạn thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn (C; CD), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trong hình học.

1. Đặt O là tâm của nửa đường tròn, A và B lần lượt là hai điểm đầu mút của đường kính. C là một điểm thuộc nửa đường tròn nên theo định nghĩa, OC là bán kính của nửa đường tròn.

2. H là hình chiếu của C trên AB. Do H là hình chiếu, nên đoạn CH vuông góc với AB.

3. Gọi M là trung điểm của đoạn CH. Theo định nghĩa trung điểm, ta có:
\[ MH = \frac{CH}{2} \]

4. Vẽ đường thẳng vuông góc với OC qua M. Đường thẳng này sẽ cắt nửa đường tròn tại hai điểm D và E.

5. Để chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (C; CD), chúng ta sẽ xác định góc tạo thành giữa đường thẳng AB và đoạn thẳng CD tại điểm C.

6. Xem tam giác OCH:
- CH vuông góc với AB, do đó góc OHA = 90 độ.
- Bởi H là hình chiếu của C lên AB, nên CH vuông góc với AB.

7. Đường thẳng ME vuông góc với OC, suy ra góc MCE cũng vuông góc với OC:
\[
\angle MCE = 90^\circ - \angle OCH = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ
\]

8. Cũng từ tam giác OCH, ta có:
\[
\angle OCH = 90^\circ
\]

9. Do đó, từ sự thiết lập góc, ta có:
\[
CD vuông góc với CH
\]
và
\[
CH vuông góc với AB
\]
dẫn đến CD vuông góc với AB.

10. Khi CD vuông góc với AB tại điểm C và C thuộc vào đường tròn (C; CD), suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn (C; CD) tại điểm C.

Kết luận: Đoạn thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn (C; CD) như yêu cầu.