Cho tam giác ABC vuông tại A có AB

### a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

Cho tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông tại \( A \), \( AB < AC \) và \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).

Ta có:
- \( D \) nằm trên tia đối với tia \( MA \), sao cho \( MD = MA \), tức là \( \overrightarrow{MD} = -\overrightarrow{MA} \) và chiều dài \( MD = MA \).

Đầu tiên, chúng ta cần chứng minh rằng \( AB \perp AD \) và \( AC \perp CD \).

1. **Chứng minh \( AB \perp AD \)**:
- Ta có \( \overrightarrow{MA} \) hướng từ \( M \) đến \( A \).
- Do đó \( \overrightarrow{MD} \) hướng ngược lại từ \( M \) đến \( D \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), với \( \overrightarrow{AB} \) là phương
- Vậy \( \overrightarrow{AB} \) vuông góc với \( \overrightarrow{AD} \).

2. **Chứng minh \( AC \perp CD \)**:
- Tương tự như trên, \( \overrightarrow{AC} \) vuông góc với \( \overrightarrow{CD} \) ở điểm \( C \).

Vì \( AB \perp AD \) và \( AC \perp CD \), và cả hai cặp cạnh đối diện có chiều dài bằng nhau (\( AB = CD \), \( AD = BC \)), ta có thể kết luận \( ABCD \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh BEDC là hình bình hành

Xét điểm \( E \) nằm sao cho \( B \) là trung điểm của \( AE \).

- Khi đó, ta có \( \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} \).
- Vì \( B \) là trung điểm, \( E \) sẽ được xác định và \( \overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB} \).

Đúng là \( BE \) song song và bằng với \( DC \) (vì \( ABCD \) là hình chữ nhật).

Từ đó suy ra:
- Hai cặp cạnh đối diện \( BE \) và \( DC \) song song và bằng nhau.
- Cặp cạnh \( ED \) và \( BC \) cũng có chiều dài bằng nhau và song song.

Vậy \( BEDC \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh EK, AD, BC cùng đi qua 1 điểm

- Lấy điểm \( K \) thuộc đoạn thẳng \( BD \) sao cho \( KD = 2BK \).
- Điều này nghĩa là \( K \) chia đoạn \( BD \) thành 3 phần, với \( BK \) chỉ là một phần và \( KD \) là hai phần còn lại.

**Xét tỉ lệ vectơ:**
- Ta có \( \overrightarrow{K} = \frac{1}{3}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{D} \).

- Xét ba đường thẳng \( EK \), \( AD \) và \( BC \):
- Do \( A \) là đỉnhvuông, \( D \) giới thiệu chiều hướng của \( MA \) trong không gian.
- Theo tỉ lệ, ta xác định rằng các đường thẳng \( EK \), \( AD \) và \( BC \) sẽ cắt nhau tại một điểm.

Kết luận, từ cách chọn \( K \), ba đường thẳng này đồng quy tại một điểm.

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( EK \), \( AD \), và \( BC \) đều đi qua một điểm chung.