Để phân tích đa thức thành nhân tử biểu thức mà bạn đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### Bước 1: Phân tích đa thức đầu tiên
Đa thức đầu tiên là \(3x^2 - 5xy - 4y^2\).

Ta sẽ sử dụng phương pháp tìm hai số có tích bằng \(3 \cdot (-4) = -12\) và tổng bằng \(-5\), đó là \( -6 \) và \( 2 \).

Ta có thể viết lại:
\[
3x^2 - 6xy + 2xy - 4y^2
\]
Nhóm lại:
\[
= (3x^2 - 6xy) + (2xy - 4y^2)
\]
\[
= 3x(x - 2y) + 2y(x - 2y)
\]
\[
= (3x + 2y)(x - 2y)
\]

### Bước 2: Phân tích đa thức thứ hai
Đa thức thứ hai là \(2x^2 + y^2\).
Trong trường hợp này, đa thức này không thể phân tích thành nhân tử hơn nữa với các hệ số hữu tỷ.

### Bước 3: Lập biểu thức tổng
Biểu thức đầy đủ bây giờ trở thành:
\[
(3x + 2y)(x - 2y)(2x^2 + y^2)
\]

### Bước 4: Xem xét phần chia
Ta có phần yêu cầu là:
\[
\frac{2x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4}{15xy}
\]

Chia từng hạng tử:
\[
= \frac{2x^4y^2}{15xy} + \frac{x^3y^3}{15xy} + \frac{x^2y^4}{15xy}
\]
\[
= \frac{2x^3y}{15} + \frac{x^2y^2}{15} + \frac{xy^3}{15}
\]
\[
= \frac{1}{15}(2x^3y + x^2y^2 + xy^3)
\]

### Bước 5: Phân tích phần cuối
Cần phân tích \(2x^3y + x^2y^2 + xy^3\):
\[
= xy(2x^2 + xy + y^2)
\]
Và trong trường hợp này, \(2x^2 + xy + y^2\) là một đa thức bậc hai không có nghiệm thực (tính từ discriminant), nên không thể phân tích thêm.

### Bước 6: Kết hợp
Vậy biểu thức cuối cùng là:
\[
(3x + 2y)(x - 2y)(2x^2 + y^2) + \frac{1}{15}xy(2x^2 + xy + y^2)
\]

Và bạn có thể điểm nghĩ để cùng nhau tìm hiểu hoặc quy đổi thêm nếu cần thiết cho từng phần. Tuy nhiên, đó là cách phân tích. Nếu bạn có thêm câu hỏi nào khác hay yêu cầu về các phần cụ thể, vui lòng cho tôi biết!