Để chứng minh rằng \( S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \ldots + \frac{n^2 - 1}{n^2} \) không là số tự nhiên với mọi \( n \in \mathbb{N}, n > 2 \), ta có thể viết lại biểu thức \( S \) như sau:

\[
S = \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2 - 1}{k^2}
\]

Ta có thể rút gọn từng phần tử trong tổng:

\[
\frac{k^2 - 1}{k^2} = 1 - \frac{1}{k^2}
\]

Từ đó, ta có:

\[
S = \sum_{k=2}^{n} \left( 1 - \frac{1}{k^2} \right) = \sum_{k=2}^{n} 1 - \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}
\]

Tổng số hạng đầu tiên là:

\[
\sum_{k=2}^{n} 1 = n - 1
\]

Vậy ta có:

\[
S = (n - 1) - \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}
\]

Chúng ta cần biết rằng tổng \( \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \) sẽ luôn mang giá trị dương. Một số ước lượng cho tổng này là:

\[
\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < \frac{1}{2} + \int_{1}^{n} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{2} + \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{n} = \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{n} < \frac{3}{2}
\]

Do đó, ta có:

\[
S = (n - 1) - \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} > (n - 1) - \frac{3}{2}
\]

Khi chúng ta xem xét \( n > 2 \), \( (n - 1) \) sẽ lớn hơn \( \frac{3}{2} \). Bây giờ chúng ta xem xét giá trị của \( S \):

Ta cần chứng minh rằng \( S \) không là số nguyên.

Vì \( \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \) không phải là số tự nhiên (nó luôn bằng một số thực dương không phải nguyên), do đó, \( S \) sẽ có tính chất không nguyên vì nó là hiệu giữa một số nguyên và một số phi nguyên.

Cuối cùng, từ những chứng minh trên, ta kết luận rằng với mọi \( n > 2 \), \( S \) sẽ không phải là số tự nhiên và chính xác:

\[
S \text{ không là số tự nhiên với mọi } n \in \mathbb{N}, n > 2.
\]