Bài 1 Chứng minh AI là đường cao của tam giác ABC:

• Vì tam giác ABC cân tại A nên AI cũng là đường phân giác của góc A.

• Do đó, góc BAI = góc CAI.

• Xét tam giác ABI và tam giác ACI có:

  • AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
  • AI chung
  • góc BAI = góc CAI (chứng minh trên)

• Nên tam giác ABI = tam giác ACI (c.g.c)

• Do đó, góc AIB = góc AIC.

• Mà góc AIB + góc AIC = 180 độ (hai góc kề bù)

• Nên góc AIB = góc AIC = 90 độ.

• Vậy AI vuông góc với BC.

• Chứng minh AI là đường trung trực của BC:

  • Vì AI là đường cao của tam giác ABC (chứng minh trên) nên AI vuông góc với BC.
  • Mặt khác, I là trung điểm của BC nên AI là đường trung trực của BC

Bài 2 a) BAD = BDA:

• Xét tam giác ABD có AB = BD (gt)
• Nên tam giác ABD cân tại B
• Do đó, góc BAD = góc BDA (tính chất tam giác cân)

b) AD là phân giác của góc HAC:

• Vì AH vuông góc với BC, DK vuông góc với AC nên góc AHB = góc DKC = 90 độ
• Xét tam giác AHB và tam giác DKC có:
  • AB = BD = DC (gt)
  • góc AHB = góc DKC = 90 độ (chứng minh trên)
  • góc BAH = góc CDK (cùng phụ với góc ACB)
• Nên tam giác AHB = tam giác DKC (g.c.g)
• Do đó, AH = DK (hai cạnh tương ứng)
• Xét tam giác AHD và tam giác AKD có:
  • AH = DK (chứng minh trên)
  • AD chung
  • góc AHD = góc AKD = 90 độ (chứng minh trên)
• Nên tam giác AHD = tam giác AKD (c.g.c)
• Do đó, góc HAD = góc KAD (hai góc tương ứng)
• Vậy AD là phân giác của góc HAC.