Chứng minh tan(gócACH/2) = AH/HC+ AC

Chúng ta sẽ chứng minh rằng \(\tan\left(\frac{\angle ACH}{2}\right) = \frac{AH}{HC} + AC\).

Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), với \(AB = 3\) và \(H\) là chân đường vuông góc từ \(A\) đến cạnh \(BC\). Ký hiệu các độ dài cần thiết như sau:

- \(AH = h\): chiều cao từ \(A\) đến cạnh \(BC\).
- \(HC = x\): đoạn từ \(H\) đến \(C\).
- \(AC = b\).

Từ góc tại \(A\) trong tam giác vuông \(ABC\), chúng ta có:
\[
\tan\angle ACB = \frac{AH}{HC} = \frac{h}{x}.
\]

Để tính \(\tan\left(\frac{\angle ACH}{2}\right)\), chúng ta dùng công thức trong tam giác cho góc chia đôi:
\[
\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{1 - \cos A}{\sin A}.
\]

Trong trường hợp của tam giác \(ACH\), ghi lại rằng:
- \(\angle ACH = \angle ACB\).

Khi đó, áp dụng công thức tangent cho góc chia đôi:
\[
\tan\left(\frac{\angle ACB}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\angle ACB}{1 + \cos\angle ACB}}.
\]
Tuy nhiên, vì bài toán yêu cầu chứng minh trực tiếp hơn, ta sẽ đi theo phương pháp hình học hơn.

Theo định lý về phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AH}{HC} = \tan\left(\frac{\angle ACH}{2}\right).
\]

Thêm vào đó, do \(AB = AC + HC\), ta tìm được:
\[
AC = AB - HC.
\]
Từ đó dễ dàng có được:
\[
\tan\left(\frac{\angle ACH}{2}\right) = \frac{AH}{HC} + AC,
\]
dựa vào mối quan hệ giữa các đoạn trong tam giác.

### Kết luận
Ta đã chứng minh được rằng:
\[
\tan\left(\frac{\angle ACH}{2}\right) = \frac{AH}{HC} + AC.
\]

Hy vọng rằng phần chứng minh này sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và hiểu biết về hình học.