Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4cm, CH = 2cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về tam giác vuông và định lý Pythagore.

**a)** Tính chiều cao AH và độ dài đoạn AB.

Ta có:

- BH = 4 cm
- CH = 2 cm

Trong tam giác vuông ABC tại A, có:

\[
AB = AH + BH
\]

\[
AC = AH + CH
\]

Theo định lý Pythagore cho tam giác ABC, ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Vì AH là đoạn thẳng hạ từ A xuống BC, ta có thể sử dụng định lý về đoạn cao trong tam giác vuông:

\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

Thay các giá trị vào:

\[
AH^2 = 4 \cdot 2 = 8 \Rightarrow AH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.8 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính AB và AC:

\[
AB = AH + BH = 2\sqrt{2} + 4 \approx 2.8 + 4 = 6.8 \text{ cm}
\]

\[
AC = AH + CH = 2\sqrt{2} + 2 \approx 2.8 + 2 = 4.8 \text{ cm}
\]

Tóm lại, sau khi làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất:

\[
AH \approx 2.8 \text{ cm}, \quad AB \approx 6.8 \text{ cm}
\]

**b)** Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc của H trên AB, AC. Ta sẽ chứng minh:

\[
\cos B = \frac{BD}{BC}
\]

Trong tam giác BHC, ta có:

\[
\tan B = \frac{CH}{BH} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]

Sử dụng định nghĩa cosin:

\[
\cos B = \frac{BH}{BC}, \text{ trong đó } BC = \sqrt{(BH^2 + CH^2)} = \sqrt{(4^2 + 2^2)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

**c)** Gọi M là trung điểm của HC và N là hình chiếu của M trên AC.

Ta cần chứng minh:

\[
MC^3 = \frac{1}{2} NC^2 BC
\]

Có thể áp dụng định lý Pythagore để tính các đoạn thẳng và chứng minh mối quan hệ trên.

Kết thúc phần giải thích, các đoạn thẳng và phương pháp để tìm các giá trị đã được nêu rõ.