Chứng minh rằng AM = BM từ đó chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi; Chứng minh PA = MC; ^APM = ^ACM

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một.

### a) Chứng minh rằng \( AM = BM \) từ đó chứng minh tứ giác \( AMBP \) là hình thoi.

Xét tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) và \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \).

Ta có:
- Xét các điểm trong hệ tọa độ, giả sử \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \).
- Điểm giữa \( M \) sẽ có tọa độ:
\[
M\left(\frac{b + 0}{2}, \frac{0 + c}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]
- Điểm giữa \( N \) sẽ có tọa độ:
\[
N\left(\frac{0 + b}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]

Ta cần chứng minh \( AM = BM \):
- Đoạn \( AM \) có độ dài:
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}
\]
- Đoạn \( BM \) có độ dài:
\[
BM = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - b\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}
\]

Vì vậy, ta có \( AM = BM \).

Tứ giác \( AMBP \) có \( AM = BM \) và \( AP = BP \) (vì \( N \) là trung điểm của \( PM \)). Do đó, các cạnh đối diện bằng nhau, tứ giác \( AMBP \) là hình thoi.

### b) Chứng minh \( PA = MC \); \( \angle APM = \angle ACM \).

Để chứng minh:

1. **Chứng minh \( PA = MC \)**:
- Ta có \( P \) là điểm sao cho \( N \) là trung điểm của \( PM \). Do đó, \( PN = NM \). Mà \( N \) là trung điểm của \( AB \) nên \( PA = PN \).
- Từ đó, ta có \( PA = NM \) và \( M \) là trung điểm của \( BC\), có nghĩa là \( MC = MB + CM = AM \).
- Từ đó, suy ra \( PA = MC \).

2. **Chứng minh \( \angle APM = \angle ACM \)**:
- Xét hai tam giác \( APN \) và \( CMN \):
- Ta có:
- \( AP = PN \)
- \( AN = MN \) (cùng là đoạn nối từ điểm trung điểm đến các đỉnh)
- Vì vậy, chúng ta có \( PA \) đối diện với \( MC \), từ đây suy ra \( \angle APM = \angle ACM \) do hai tam giác này đồng dạng hoặc bằng nhau.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được:

- \( AM = BM \) và \( AP = BP \) nên \( AMBP \) là hình thoi.
- \( PA = MC \) và \( \angle APM = \angle ACM \).

Hy vọng cách trình bày trên sẽ giúp ích cho bạn trong việc hiểu rõ và làm bài tập này.