Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Giải bài có thưởng!

Chứng minh rằng AM = BM từ đó chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi; Chứng minh PA = MC; ^APM = ^ACM

Cho △ABC vuông tại A có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AB. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của PM
a) Chứng minh rằng AM = BM từ đó chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi
b) Chứng minh PA = MC; ^APM = ^ACM
0 trả lời
Hỏi chi tiết
7
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một.

### a) Chứng minh rằng \( AM = BM \) từ đó chứng minh tứ giác \( AMBP \) là hình thoi.

Xét tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) và \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \).

Ta có:
- Xét các điểm trong hệ tọa độ, giả sử \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \).
- Điểm giữa \( M \) sẽ có tọa độ:
\[
M\left(\frac{b + 0}{2}, \frac{0 + c}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]
- Điểm giữa \( N \) sẽ có tọa độ:
\[
N\left(\frac{0 + b}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]

Ta cần chứng minh \( AM = BM \):
- Đoạn \( AM \) có độ dài:
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}
\]
- Đoạn \( BM \) có độ dài:
\[
BM = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - b\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}
\]

Vì vậy, ta có \( AM = BM \).

Tứ giác \( AMBP \) có \( AM = BM \) và \( AP = BP \) (vì \( N \) là trung điểm của \( PM \)). Do đó, các cạnh đối diện bằng nhau, tứ giác \( AMBP \) là hình thoi.

### b) Chứng minh \( PA = MC \); \( \angle APM = \angle ACM \).

Để chứng minh:

1. **Chứng minh \( PA = MC \)**:
- Ta có \( P \) là điểm sao cho \( N \) là trung điểm của \( PM \). Do đó, \( PN = NM \). Mà \( N \) là trung điểm của \( AB \) nên \( PA = PN \).
- Từ đó, ta có \( PA = NM \) và \( M \) là trung điểm của \( BC\), có nghĩa là \( MC = MB + CM = AM \).
- Từ đó, suy ra \( PA = MC \).

2. **Chứng minh \( \angle APM = \angle ACM \)**:
- Xét hai tam giác \( APN \) và \( CMN \):
- Ta có:
- \( AP = PN \)
- \( AN = MN \) (cùng là đoạn nối từ điểm trung điểm đến các đỉnh)
- Vì vậy, chúng ta có \( PA \) đối diện với \( MC \), từ đây suy ra \( \angle APM = \angle ACM \) do hai tam giác này đồng dạng hoặc bằng nhau.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được:

- \( AM = BM \) và \( AP = BP \) nên \( AMBP \) là hình thoi.
- \( PA = MC \) và \( \angle APM = \angle ACM \).

Hy vọng cách trình bày trên sẽ giúp ích cho bạn trong việc hiểu rõ và làm bài tập này.

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Lớp 8 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 8 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư