Chứng minh rằng AM = BM từ đó chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi; Chứng minh PA = MC; ^APM = ^ACM Cho △ABC vuông tại A có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AB. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của PM a) Chứng minh rằng AM = BM từ đó chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi b) Chứng minh PA = MC; ^APM = ^ACM
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một. ### a) Chứng minh rằng \( AM = BM \) từ đó chứng minh tứ giác \( AMBP \) là hình thoi. Xét tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) và \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Ta có: - Xét các điểm trong hệ tọa độ, giả sử \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \). - Điểm giữa \( M \) sẽ có tọa độ: \[ M\left(\frac{b + 0}{2}, \frac{0 + c}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \] - Điểm giữa \( N \) sẽ có tọa độ: \[ N\left(\frac{0 + b}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right) \] Ta cần chứng minh \( AM = BM \): - Đoạn \( AM \) có độ dài: \[ AM = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2} \] - Đoạn \( BM \) có độ dài: \[ BM = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - b\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2} \] Vì vậy, ta có \( AM = BM \). Tứ giác \( AMBP \) có \( AM = BM \) và \( AP = BP \) (vì \( N \) là trung điểm của \( PM \)). Do đó, các cạnh đối diện bằng nhau, tứ giác \( AMBP \) là hình thoi. ### b) Chứng minh \( PA = MC \); \( \angle APM = \angle ACM \). Để chứng minh: 1. **Chứng minh \( PA = MC \)**: - Ta có \( P \) là điểm sao cho \( N \) là trung điểm của \( PM \). Do đó, \( PN = NM \). Mà \( N \) là trung điểm của \( AB \) nên \( PA = PN \). - Từ đó, ta có \( PA = NM \) và \( M \) là trung điểm của \( BC\), có nghĩa là \( MC = MB + CM = AM \). - Từ đó, suy ra \( PA = MC \). 2. **Chứng minh \( \angle APM = \angle ACM \)**: - Xét hai tam giác \( APN \) và \( CMN \): - Ta có: - \( AP = PN \) - \( AN = MN \) (cùng là đoạn nối từ điểm trung điểm đến các đỉnh) - Vì vậy, chúng ta có \( PA \) đối diện với \( MC \), từ đây suy ra \( \angle APM = \angle ACM \) do hai tam giác này đồng dạng hoặc bằng nhau. Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được: - \( AM = BM \) và \( AP = BP \) nên \( AMBP \) là hình thoi. - \( PA = MC \) và \( \angle APM = \angle ACM \). Hy vọng cách trình bày trên sẽ giúp ích cho bạn trong việc hiểu rõ và làm bài tập này.