Để chứng minh các yêu cầu trong hình bình hành ABCD, chúng ta sẽ sử dụng một số đặc điểm của hình bình hành và tính chất của tam giác.

### a) Chứng minh \( BE = DF \) và \( \angle ABE = \angle CDF \)

1. **Xác định tọa độ:**
Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a + b, h) \), \( D(b, h) \).
Từ đó, ta xác định tọa độ của E và F:
- E là trung điểm của AD:
\[
E = \left(\frac{0 + b}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
- F là trung điểm của BC:
\[
F = \left(\frac{a + (a + b)}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(a + \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

2. **Tính độ dài đoạn thẳng BE và DF:**
- Đoạn BE:
\[
BE = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{h}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}
\]
- Đoạn DF:
\[
DF = \sqrt{\left(b - \left(a + \frac{b}{2}\right)\right)^2 + \left(h - \frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(b - a - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}
\]
- Do \( b - a - \frac{b}{2} = \frac{2b - 2a}{2} = \frac{b - 2a + b}{2} = \frac{b}{2} - a \).

Vậy ta thấy \( BE = DF \).

3. **Chứng minh góc:**
Để chứng minh \( \angle ABE = \angle CDF \), ta chú ý rằng hai tam giác ABE và CDF có:
- Độ dài 2 cạnh BE và DF bằng nhau \( BE = DF \)
- Cạnh chung AB và CD song song (vì ABCD là hình bình hành).
- Do đó, từ tỉ lệ này, ta suy ra \( \angle ABE = \angle CDF \) theo định lý đồng dạng.

### b) Chứng minh \( BE \parallel DF \)

Từ đầu tiên, ta đã chứng minh rằng:

- \( ABE \) và \( CDF \) có hình dạng đồng dạng.
- Các tam giác này đều nằm trên cùng 1 mặt phẳng và cạnh AE và CF (cạnh đối diện) song song.

Từ đó, ta thấy rằng:

- Nếu \( \angle ABE = \angle CDF \) thì theo thuộc tính của góc, ta suy ra rằng BE || DF.

### Kết luận

1. \( BE = DF \) và \( \angle ABE = \angle CDF \).
2. \( BE \parallel DF \).