Để chứng minh rằng \( C \parallel b \) khi \( \widehat{A_1} = \widehat{B_1} \), chúng ta có thể áp dụng định lý về góc so le trong.

**Chứng minh:**

1. Giả sử rằng \( m \) và \( C \) là hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \( A \), tạo thành các góc \( \widehat{A_1} \) và \( \widehat{B_1} \) tại điểm \( A \) và \( B \).
2. Theo giả thiết, chúng ta có \( \widehat{A_1} = \widehat{B_1} \).
3. Theo định lý về góc so le (hay góc đồng vị), nếu hai góc so le (hoặc đồng vị) bằng nhau thì hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng (trong trường hợp này là đường thẳng \( C \)) song song với nhau.
4. Do đó, từ việc \( \widehat{A_1} = \widehat{B_1} \) suy ra rằng \( C \parallel b \).

**Giải thích tại sao \( a \parallel b \):**

- Nếu \( a \) là một đường thẳng cắt \( b \) tại điểm \( B \) và \( C \parallel b \) như đã chứng minh ở trên, thì \( a \) cũng phải song song với \( b \) theo lý thuyết về những đường thẳng song song. Cụ thể, nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song khác nhau, thì các góc tạo thành sẽ có mối quan hệ về sự tương đương (góc so le, đồng vị).
- Vì vậy, sự tồn tại và tương đương của các góc \( \widehat{A_1} \) và \( \widehat{B_1} \) chỉ định rằng \( a \parallel b \).

Kết luận, từ giả thiết \( \widehat{A_1} = \widehat{B_1} \) suy ra cả hai đường thẳng \( C \) và \( a \) đều song song với \( b \).