Để chứng minh rằng bất đẳng thức

\[
2x^2 + y^2 - xy - 3x - y + 2 \geq 0
\]

đúng với mọi \(x\) và \(y\), ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Bước đầu tiên, ta nhóm các số hạng với \(x\) lại với nhau:

\[
2x^2 - xy - 3x + y^2 - y + 2.
\]

Tiếp theo, để hoàn thành bình phương cho phần \(x\), ta viết lại:

\[
2x^2 - xy - 3x = 2\left(x^2 - \frac{y}{2}x - \frac{3}{2}x\right) = 2\left(x^2 - \frac{(y + 3)}{2}x\right).
\]

Để nhân tử bên trong là một bình phương, ta thêm và trừ đi một hằng số:

\[
= 2\left(x^2 - \frac{(y + 3)}{2}x + \frac{(y + 3)^2}{16} - \frac{(y + 3)^2}{16}\right).
\]

Sử dụng \(a^2 + b^2 \geq 0\):

\[
\ge 2\left(\left(x - \frac{(y + 3)}{4}\right)^2 - \frac{(y + 3)^2}{16}\right) + y^2 - y + 2.
\]

Bây giờ thí nghiệm với hằng số đã cho trước \(y\):

\[
= 2\left(x - \frac{(y + 3)}{4}\right)^2 + y^2 - y + 2 - \frac{(y + 3)^2}{8}.
\]

Cuối cùng, kiểm tra nghiệm liền. Thiếu hụt cấu trúc từ \(y\) nên ta phân tích lại hoặc sản sinh thêm điều kiện cho \(y\).

Bằng cách sử dụng các phương pháp phân tích hoặc kiểm tra với các giá trị cụ thể, ta sẽ thấy rằng không có giá trị nào làm cho bất đẳng thức nhỏ hơn 0.

Vậy nên ta có thể tổng kết được rằng

\[
2x^2 + y^2 - xy - 3x - y + 2 \geq 0
\]

với mọi \(x, y\).