Để tìm số tự nhiên \( a \) thỏa mãn các điều kiện:

1. \( 300 < a < 500 \)
2. \( a \equiv 8 \mod 17 \)

Ta có thể bắt đầu từ điều kiện thứ 2. Có thể viết lại điều kiện này dưới dạng:

\[
a = 17k + 8
\]

với \( k \) là một số nguyên.

Bây giờ, chúng ta thay điều này vào bất đẳng thức:

\[
300 < 17k + 8 < 500
\]

Trước tiên, giải bất đẳng thức bên trái:

\[
300 < 17k + 8
\]
\[
292 < 17k
\]
\[
k > \frac{292}{17} \approx 17.1764
\]
Vậy thì \( k \) phải lớn hơn hoặc bằng 18 (vì \( k \) là số nguyên).

Tiếp theo, giải bất đẳng thức bên phải:

\[
17k + 8 < 500
\]
\[
17k < 492
\]
\[
k < \frac{492}{17} \approx 28.9412
\]
Vậy thì \( k \) phải nhỏ hơn hoặc bằng 28 (vì \( k \) là số nguyên).

Vậy \( k \) có thể nhận các giá trị nguyên từ 18 đến 28. Ta sẽ tính \( a \) cho từng giá trị của \( k \):

- Khi \( k = 18 \): \( a = 17 \cdot 18 + 8 = 306 + 8 = 314 \)
- Khi \( k = 19 \): \( a = 17 \cdot 19 + 8 = 323 + 8 = 331 \)
- Khi \( k = 20 \): \( a = 17 \cdot 20 + 8 = 340 + 8 = 348 \)
- Khi \( k = 21 \): \( a = 17 \cdot 21 + 8 = 357 + 8 = 365 \)
- Khi \( k = 22 \): \( a = 17 \cdot 22 + 8 = 374 + 8 = 382 \)
- Khi \( k = 23 \): \( a = 17 \cdot 23 + 8 = 391 + 8 = 399 \)
- Khi \( k = 24 \): \( a = 17 \cdot 24 + 8 = 408 + 8 = 416 \)
- Khi \( k = 25 \): \( a = 17 \cdot 25 + 8 = 425 + 8 = 433 \)
- Khi \( k = 26 \): \( a = 17 \cdot 26 + 8 = 442 + 8 = 450 \)
- Khi \( k = 27 \): \( a = 17 \cdot 27 + 8 = 459 + 8 = 467 \)
- Khi \( k = 28 \): \( a = 17 \cdot 28 + 8 = 476 + 8 = 484 \)

Tóm lại, các số tự nhiên \( a \) thỏa mãn cả hai điều kiện trên là:

\[
314, 331, 348, 365, 382, 399, 416, 433, 450, 467, 484
\]