Để chứng minh rằng \(3n+11\) và \(3n+2\) là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \(n\), ta sẽ sử dụng định nghĩa của hai số nguyên tố cùng nhau: Hai số nguyên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu, ước chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng là 1.

Theo định nghĩa, ta có:

\[
a = 3n + 11
\]
\[
b = 3n + 2
\]

Ta sẽ tính ƯCLN của \(a\) và \(b\) bằng cách sử dụng thuật toán Euclid:

\[
\gcd(a, b) = \gcd(3n + 11, 3n + 2)
\]

Ta nhận thấy rằng:

\[
\gcd(a, b) = \gcd(3n + 11, (3n + 11) - (3n + 2)) = \gcd(3n + 11, 9)
\]

Bây giờ tổ hợp mỗi trường hợp cho \(n\):

- Nếu \(3n + 11 \equiv 0 \pmod{3}\) thì \(3n + 11\) chia hết cho 3. Từ đó ta có \(3n \equiv 0 \pmod{3}\) và \(11 \equiv 2 \pmod{3}\) nên \(3n + 11 \equiv 2 \pmod{3}\).
- Tương tự với \(3n + 2 \equiv 0 \pmod{3}\): \(3n + 2\) chia hết cho 3, tức là không chia hết cho 3.

Vậy \(3n + 11\) không chia hết cho 3 và \(3n + 2\) không chia hết cho 3; rút ra rằng cả hai không chia hết cho 3, dẫn chiếu tới việc \(a\) và \(b\) không có ước chung nào khác ngoài 1.

#### Kết luận:
Việc này cho thấy rằng \(3n + 11\) và \(3n + 2\) là nguyên tố cùng nhau với mọi \(n\).

### Tìm số tự nhiên \(n\):

#### a, \(n + 15 \leq n - 6\)

Ta có:
\[
n + 15 \leq n - 6 \implies 15 \leq -6
\]
Điều này không đúng, do đó không có giá trị nào của \(n\) thỏa mãn điều kiện này.

#### b, \(2n + 15 \mid 2n + 3\)

Điều này có nghĩa là \(2n + 3\) phải chia hết cho \(2n + 15\).

\[
2n + 3 = k(2n + 15) \text{ với } k \text{ là một số tự nhiên.}
\]
Giản lược:

\[
2n + 3 = 2kn + 15k
\]
\[
(2 - 2k)n = 15k - 3
\]
Xét trường hợp khi \(2 - 2k \neq 0\):

\[
n = \frac{15k - 3}{2(1 - k)}
\]

Cần tìm \(k\) để \(n\) là số tự nhiên. Tiến hành thử một số giá trị:

- \(k = 1\):
\[
n = \frac{15\cdot1 - 3}{2\cdot(1 - 1)} \text{ không xác đinh }.
\]

- \(k = 2\):
\[
n = \frac{15\cdot2 - 3}{2\cdot(1 - 2)} = \frac{30 - 3}{-2} = -13.5 \text{ không hợp lệ.}
\]

Hệ đẳng thức này có thể không thỏa mãn và không tìm được \(n\) từ dãy số tự nhiên.

#### c, \(6n + 9 \mid 2n + 1\):

Tương tự như thế ta có:

\[
2n + 1 = k(6n + 9)
\]
\[
2n + 1 = 6kn + 9k
\]
\[
(2 - 6k)n = 9k - 1
\]

Giả sử cần tìm giá trị \(k\), thử một số nhỏ:

- \(k = 1\):
\[
(2 - 6\cdot1)n = 9 - 1 \implies -4n = 8 \implies n = -2 \text{ không khả thi.}
\]

- \(k = 2\):
\[
(2 - 12)n = 18 - 1 \implies -10n = 17 \implies n = -1.7 \text{ không khả thi.}
\]

Cũng không tìm thấy giá trị nào của \(n\).

Kết luận, cả ba đề bài đều không có số tự nhiên \(n\) nào thỏa mãn.