Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a^3 + b^3 = a - b. Chứng minh rằng a^2 + b^2 + ab < 1

Để chứng minh \( a^2 + b^2 + ab < 1 \) với điều kiện \( a, b > 0 \) và \( a^3 + b^3 = a - b \), ta sẽ làm theo các bước dưới đây.

1. **Dùng phương trình đã cho**:
Từ \( a^3 + b^3 = a - b \), ta có thể viết lại theo công thức phân tích:
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]
Vậy ta có:
\[
(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a - b.
\]
Điều này có thể tái cấu trúc để có sự liên hệ giữa các biến.

2. **Tính chất của \( a^2 + b^2 + ab \)**:
Ta có thể viết \( a^2 + b^2 + ab = \frac{1}{2} ((a + b)^2 + (a^2 + b^2)) \).
Về nhân tử, \( a^3 + b^3 \) cho ta thông tin về cấu trúc của \( a \) và \( b \) và sẽ giúp ta kiểm tra bất đẳng thức.

3. **Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong một số trường hợp để đưa ra đánh giá cho phép cho các giá trị của \( a \) và \( b \).

4. **Kiểm tra giá trị cụ thể**:
Cũng có thể chúng ta kiểm tra một số giá trị cụ thể cho \( a \) và \( b \) thoả mãn đẳng thức và tính giá trị của \( a^2 + b^2 + ab \).

5. **Kết luận**:
Thông thường có thể sử dụng thêm một số bất đẳng thức mạnh mẽ như AM-GM hoặc Bernoulli để hoàn thiện chứng minh.

Tóm lại, bằng cách diễn giải và phát triển các phương trình từ điều kiện ban đầu, ta có thể tìm ra ràng buộc cần thiết cho bất đẳng thức mà ta muốn chứng minh.