Để chứng minh các mệnh đề trong hình thang cân \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\) và \(E\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\), ta có thể làm như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle ABC \)

1. **Đầu vào**:
- Ta có \(AB \parallel CD\).
- Hai góc \( \angle ABD\) và \( \angle ACD\) là góc đối đỉnh, do đó \( \angle ABD = \angle ACD\).
- Tương tự, \( \angle ADB\) và \( \angle ABC\) cũng là góc đối đỉnh, do đó \( \angle ADB = \angle ABC\).

2. **Kết luận**:
- Hai tam giác này có hai góc bằng nhau và cạnh \(AB\) chung, do đó theo định lý đồng dạng, ta có \( \triangle ABD \cong \triangle ABC\).

### b) Chứng minh \( EA = EB \) và \( EC = ED \)

1. **Sử dụng tính chất của tam giác đã chứng minh**:
- Bởi vì \( \triangle ABD \cong \triangle ABC\), nên theo tính chất của các tam giác đồng dạng, ta có \(EA = EB\).
- Tương tự, ta cũng có hai tam giác \( \triangle ACD \cong \triangle BCD\), từ đó suy ra \(EC = ED\).

### Kết luận
- Đã chứng minh được \( EA = EB \) và \( EC = ED \).

Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc giải thích chi tiết hơn, hãy cho tôi biết!