Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF và gọi M là giao điểm củ DE và FC. Chứng minh: HM. FC = HF MC

Để chứng minh rằng \( HM \cdot FC = HF \cdot MC \), ta sẽ sử dụng định lý phân giác và một số quan hệ trong tam giác.

Ta có tam giác \( ABC \) với các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại điểm \( H \). Ta biết rằng \( H \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( DEF \), với \( D, E, F \) là các chân đường cao từ \( A, B, C \).

Gọi \( M \) là giao điểm của \( DE \) và \( FC \). Ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( DCE \) với đường thẳng \( MHF \).

Theo định lý Menelaus, nếu điểm \( M \) nằm trên cạnh \( DE \) của tam giác \( DCE \) thì:

\[
\frac{DM}{ME} \cdot \frac{EF}{FC} \cdot \frac{CH}{HD} = 1
\]

Ta có thể viết lại hệ thức trên như sau:

\[
\frac{DM}{ME} \cdot \frac{EF}{FC} = \frac{HD}{CH}
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
HM \cdot FC = HF \cdot MC
\]

Để làm rõ hơn về các độ dài, ta gọi:

- \( HM = x \)
- \( HF = y \)
- \( MC = z \)
- \( FC = w \)

Từ đó, ta suy ra:

\[
x \cdot w = y \cdot z
\]

Nghĩa là \( HM \cdot FC = HF \cdot MC \) được chứng minh.

Vì vậy, điều cần chứng minh là \( HM \cdot FC = HF \cdot MC \) đã được chứng minh đúng.