Để tìm giá trị của \( x \) trong phương trình

\[
\left( 3 - | x - \frac{1}{2} | \right) \cdot \left( \frac{8}{15} - \frac{1}{5} \right) + \frac{2}{3} = 1,
\]

trước tiên chúng ta sẽ tính toán phần \( \frac{8}{15} - \frac{1}{5} \).

Chuyển đổi \( \frac{1}{5} \) thành mẫu số 15:

\[
\frac{1}{5} = \frac{3}{15}.
\]

Do đó,

\[
\frac{8}{15} - \frac{1}{5} = \frac{8}{15} - \frac{3}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.
\]

Thay vào phương trình ta có:

\[
\left( 3 - | x - \frac{1}{2} | \right) \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.
\]

Nhân cả hai vế với 3:

\[
3 - | x - \frac{1}{2} | + 2 = 3.
\]

Rút gọn:

\[
5 - | x - \frac{1}{2} | = 3.
\]

Giải phương trình:

\[
| x - \frac{1}{2} | = 2.
\]

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có thể viết hai phương trình:

1. \( x - \frac{1}{2} = 2 \)
2. \( x - \frac{1}{2} = -2 \)

Giải từng phương trình:

1. \( x - \frac{1}{2} = 2 \)

\[
x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.
\]

2. \( x - \frac{1}{2} = -2 \)

\[
x = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}.
\]

Tóm lại, nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{5}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{3}{2}.
\]