Để chứng minh rằng biểu thức \( A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2024} \) chia hết cho 120, ta có thể làm theo các bước sau:

### Bước 1: Tính biểu thức A

Biểu thức \( A \) có thể được viết dưới dạng tổng cấp số nhân.

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:
\[
A = \frac{a_1 (q^n - 1)}{q - 1}
\]
Trong đó:
- \( a_1 = 3^1 = 3 \)
- \( q = 3 \)
- \( n = 2024 \)

Vậy:
\[
A = \frac{3(3^{2024} - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^{2024} - 1)}{2}
\]

### Bước 2: Chứng minh A chia hết cho 120

Chúng ta cần chứng minh \( A \) chia hết cho \( 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \).

#### Chia hết cho 8:
Để chứng minh \( A \) chia hết cho 8, ta xét phần \( 3^{2024} - 1 \):
- Theo định lý Fermat, \( 3^2 \equiv 1 \mod 8 \) => \( 3^{2024} \equiv 1 \mod 8 \) (vì \( 2024 \) là bội của \( 2 \)).
- Vậy \( 3^{2024} - 1 \equiv 0 \mod 8 \).
- Như vậy \( 3(3^{2024} - 1) \equiv 0 \mod 8 \) (vì \( 3 \) không ảnh hưởng tới tính chia hết bởi 8).
=> \(\frac{3(3^{2024} - 1)}{2} \equiv 0 \mod 8\).

#### Chia hết cho 3:
- \( A = \frac{3(3^{2024} - 1)}{2} \) dĩ nhiên chia hết cho 3.

#### Chia hết cho 5:
Xét \( 3^{2024} - 1 \mod 5 \):
- Ta biết \( 3^1 \equiv 3\), \( 3^2 \equiv 4\), \( 3^3 \equiv 2\), \( 3^4 \equiv 1 \mod 5\). Chu kỳ của \( 3 \mod 5 \) là 4.
- Đối với \( n = 2024 \): \( 2024 \mod 4 \equiv 0 \), vậy \( 3^{2024} \equiv 1 \mod 5 \).
- => \( 3^{2024} - 1 \equiv 0 \mod 5 \).
=> Như vậy \( 3(3^{2024} - 1) \equiv 0 \mod 5 \).

### Kết luận:
- \( A \) chia hết cho 8, chia hết cho 3 và chia hết cho 5.
- Suy ra, \( A \) chia hết cho \( 120 = 8 \times 3 \times 5 \).

Tóm lại, \( A \equiv 0 \mod 120 \), tức là \( A \) chia hết cho \( 120 \).