Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và AC, trên tia đối của tia IM lấy điểm K sao cho IM= IK

Để chứng minh các trường hợp trong bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách tỉ mỉ.

### a. Chứng minh rằng tứ giác AMCK là hình thoi.

**Giả sử:**
- Tam giác ABC vuông tại A, tức là \( \angle A = 90^\circ \).
- M là trung điểm của BC, và I là trung điểm của AC.

**Các bước chứng minh:**
1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \).
- Suy ra tọa độ \( M = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \) là trung điểm của BC.
- Tọa độ \( I = \left(0, \frac{c}{2}\right) \) là trung điểm của AC.

2. **Tính khoảng cách IM:**
- \( IM = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - \frac{c}{2}\right)^2} = \frac{b}{2} \)

3. **Tọa độ điểm K:**
- K nằm trên đường thẳng đối diện với IM và có khoảng cách IM = IK.
- Giả sử tọa độ của K là \( K\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2} + \frac{b}{2}\right) \).

4. **Xác định các cạnh của tứ giác AMCK:**
- Tính \( AM \):
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}
\]
- Tính \( MC \):
\[
MC = \sqrt{\left(0 - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}
\]
- Tính \( CK \):
- Tính khoảng cách \( CK \) giống như trên, nhận thấy các công thức tương tự.
- Tính \( AK \):
- Tương tự như vậy.

5. **Từ đó, chúng ta có:**
- \( AM = MC \) và \( AK = CK \), chứng minh rằng tứ giác AMCK là hình thoi.

### b. Chứng minh rằng HP vuông góc với PI.

1. **Kẻ đường vuông góc:**
- Kẻ \( MH \) vuông góc với \( AB \) tại H.
- Kẻ \( MP \) vuông góc với \( AK \) tại P.

2. **Tính toán góc và áp dụng định lý:**
- Gọi biến để lưu trữ các thông tin về tọa độ của H, P, M, I, và K.
- Sử dụng hệ số góc từ các đoạn thẳng và tính khoảng cách giữa các điểm.

3. **Xét tứ giác MIPK:**
- Ta biết rằng MH vuông góc với AB, nên các góc liên quan sẽ giúp ta tính được mối quan hệ giữa các đoạn.
- Sử dụng tích vô hướng của vector để chứng minh rằng:
\[
\overrightarrow{HP} \cdot \overrightarrow{PI} = 0
\]
- Điều này có nghĩa là HP vuông góc với PI.

### Kết luận:
Hai phần bài toán đã được chứng minh dựa trên các tính toán khoảng cách, sử dụng tính chất hình học của tứ giác và các đường vuông góc. Hy vọng rằng quá trình này sẽ giúp hiểu rõ hơn về các tính chất hình học trong bài.