Tìm tọa độ điểm D sao cho \(\overline{AB} = 3\overline{CD} - 2\overline{AC}\). Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng phần như sau:

### Phần a: Tìm tọa độ điểm D sao cho \(\overline{AB} = 3\overline{CD} - 2\overline{AC}\).

1. **Tính độ dài \(\overline{AB}\)**:
- Tọa độ điểm A là \(A(-1; 1)\) và B là \(B(0; 2)\).
- Độ dài \(\overline{AB}\) được tính như sau:
\[
\overline{AB} = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
\]

2. **Tính vectơ \(\overline{AC}\)**:
- Tọa độ điểm C là \(C(5; 2)\).
- Vectơ \(\overline{AC} = C - A = (5 - (-1), 2 - 1) = (6, 1)\).

3. **Tính độ dài \(\overline{AC}\)**:
\[
\overline{AC} = \sqrt{(6)^2 + (1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}.
\]

4. **Gọi tọa độ điểm D là \(D(x, y)\)**. Vectơ \(\overline{CD} = D - C = (x - 5, y - 2)\).

5. **Tính độ dài \(\overline{CD}\)**:
\[
\overline{CD} = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 2)^2}.
\]

6. **Thay vào phương trình \(\overline{AB} = 3\overline{CD} - 2\overline{AC}\)**:
\[
\sqrt{2} = 3 \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 2)^2} - 2\sqrt{37}.
\]

Giải phương trình này để tìm tọa độ D.

### Phần b: Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Trong hình bình hành, các cạnh đối diện phải song song và có độ dài bằng nhau. Do đó, để tìm tọa độ điểm E, chúng ta cần có:

\[
\overline{AB} = \overline{CE} \quad \text{và} \quad \overline{AD} = \overline{BE}.
\]

Sử dụng tọa độ các điểm A, B, C và D để tính toán tọa độ điểm E.

Tọa độ của E sẽ được phân tích từ các vectơ:

\[
E = A + (C - B).
\]

Với các giá trị đã biết về A, B và C, bạn có thể dễ dàng tính tọa độ của điểm E.

Sau khi thực hiện từng bước, bạn sẽ tìm ra tọa độ của các điểm D và E.