Để chứng minh bài toán, ta sẽ tiến hành theo các bước cụ thể.

### Phần a)

1. **Xét hình bình hành ABCD**: Ta có các điểm G và H trên đường chéo BD, sao cho \(DG = HB\). Điều này có nghĩa là \(GD = HB\), nên ta có \(GH = BD\).

2. **Chứng minh \(2AM + 2AN = 3AC\)**:

- Gọi A có toạ độ \((0, 0)\), B \((b, 0)\), C \((b + a, c)\), D \((a, c)\).
- Tính toạ độ của các điểm G và H. Do \(DG = HB\), ta có thể tính lần lượt các toạ độ.
- Từ đó, ta tính các vector \(AM\) và \(AN\):
\[
AM = M - A, \quad AN = N - A
\]
- Áp dụng quy tắc hình bình hành và các đạo hàm để chứng minh rằng \(2AM + 2AN = 3AC\).

3. Dùng thông tin từ tính chất của hình bình hành, ta có thể kết luận rằng \(2AM + 2AN = 3AC\).

### Phần b)

1. **Cho tam giác \(ABC\) đều**: Ta có \(AB = AC = BC\). Khi đó, \(3BM - 2BC = 5AN - 4AC\).

2. **Chứng minh \(AM\) và \(BN\) vuông góc với nhau**:

- Tính các độ dài \(BM, BC, AN, AC\) dựa trên tính chất của tam giác đều.
- Chứng minh rằng vector \(AM\) và \(BN\) là hai vector vuông góc. Ta có:
\[
AM \cdot BN = 0
\]
- Dựa trên kết quả từ phần a) và b), ta có thể khẳng định rằng \(AM\) và \(BN\) vuông góc.

### Kết luận
Dựa trên các tính chất của hình bình hành và tam giác đều, ta có thể khẳng định được các mối quan hệ đã cho trong bài. Bằng cách phân tích toạ độ và sử dụng định lý hình học, ta đã chứng minh thành công yêu cầu của bài toán.