Đầu tiên, ta nhận thấy rằng A là tổng của một chuỗi số mũ:

\[ A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \]

Đây là một chuỗi hình học, với số hạng đầu (a) là 2, công bội (r) là 2, và số hạng cuối là \( 2^{100} \).

Công thức tổng của chuỗi số mũ hình học là:

\[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Trong trường hợp này, số hạng đầu là \( a = 2 \), công bội là \( r = 2 \), và số hạng cuối có chỉ số n = 100.

Để xác định số hạng trong chuỗi này, ta nhận thấy số hạng đầu tiên là \( 2^1 \) và số hạng cuối là \( 2^{100} \), nên số hạng có tổng cộng là 99 hạng từ \( 2^1 \) đến \( 2^{100} \) (có 100 số hạng).

Do đó, ta tính tổng A như sau:

\[
A = 2 \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 2(2^{100} - 1) = 2^{101} - 2
\]

Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra xem A có chia hết cho 6 hay không. Một số là chia hết cho 6 nếu nó chia hết cho cả 2 và 3.

1. **Kiểm tra chia hết cho 2:**

Rõ ràng \( A = 2^{101} - 2 \) có chứa một yếu tố 2, do đó A chia hết cho 2.

2. **Kiểm tra chia hết cho 3:**

Ta có thể tính \( A \mod 3 \):

- Đầu tiên, ta tính \( 2^{101} \mod 3 \). Từ định lý Fermat, vì 3 là số nguyên tố, ta có \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \).

Vì vậy:
\[
2^2 \equiv 1 \mod 3
\]

Suy ra, \( 2^{101} = (2^2)^{50} \cdot 2^1 \equiv 1^{50} \cdot 2 \equiv 2 \mod 3 \).

- Thay vào A, ta có:

\[
A = 2^{101} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy nên A cũng chia hết cho 3.

Tóm lại, A chia hết cho 2 và 3, nên A chia hết cho 6.

Kết luận, ta đã chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 6.