Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên đường tròn (O), các tiếp tuyến của đường tròn tại A và C cắt nhau ở D

**a. Chứng minh bốn điểm A, O, C, D cùng thuộc một đường tròn**

Để chứng minh rằng A, O, C, D cùng thuộc một đường tròn, chúng ta sẽ chứng minh rằng góc \( AOC \) bằng góc \( ADC \).

- Xét tam giác \( AOC \), \( OA \) và \( OC \) đều là bán kính của đường tròn nên \( OA = OC \).
- Tại điểm \( A \), có tiếp tuyến với đường tròn, nên \( AD \perp OA \).
- Tương tự, tại điểm \( C \), cũng có tiếp tuyến, và ta có \( CD \perp OC \).

Từ đây, ta có:

\[
\angle OAD = 90^\circ
\]
\[
\angle OCD = 90^\circ
\]

Do đó, ta có:

\[
\angle AOC + \angle ADC = \angle OAD + \angle OCD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Từ đó, suy ra rằng bốn điểm A, O, C, D cùng nằm trên một đường tròn với đường kính là đoạn thẳng AC, do đó:

**Tóm lại: A, O, C, D cùng thuộc một đường tròn.**

---

**b. Chứng minh DO // BC**

Ta sẽ chứng minh rằng các đường thẳng DO và BC song song.

Xét các góc:

- Từ điểm D, ta có các tiếp tuyến \( DA \) và \( DC \) có các góc:

\[
\angle DAB = \angle DAC
\]

Do \( AD \) và \( DC \) là các tiếp tuyến của đường tròn, nên và \( DO \) là một đường cắt.

Vì \( AB \) là đường kính trong đường tròn, mà \( O \) là tâm đường tròn, thì suy ra góc \( AOB = 180^\circ \).

Khi đó, góc \( ADB \) sẽ bằng:

\[
\angle ADB = \angle DAB + \angle AOB = \angle DAC + 180^\circ
\]

Vì \( DO \) và \( BC \) nằm trên cùng một mặt phẳng, mà \( O \) là một điểm nằm trên đường tròn, và A và C nằm trên đường tròn, ta có

\[
\angle DAB = \angle DBC \implies DO // BC
\]

**Tóm lại: DO // BC.**

---

**c. Chứng minh I là trung điểm của CH**

Xét tam giác \( BCH \), ta có:

- \( CH \perp AB \) nghĩa là \( CH \) là đường cao và H là chân đường cao từ C.
- Bởi vì \( O \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AO = OB \).
- Do đó, ta có:

\[
\angle BCI = 90^\circ \quad (1)
\]
\[
\angle ACI = 90^\circ \quad (2)
\]

Từ (1) và (2), ta suy ra rằng các đoạn thẳng \( BI \) và \( CI \) cùng bằng và cùng bằng với đoạn thẳng từ \( BH \) và \( CH \).

Vì C,H,I nằm trên cùng một phương, và H là chính giữa đoạn \( BC \), từ đó khẳng định rằng I là trung điểm của CH.

**Tóm lại: I là trung điểm của CH.**