Cho một đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy P trên Ax (PA > R). Từ P kẻ tiếp tuyến PM với (O) (M là tiếp điểm)

Để giải bài toán này, chúng ta hãy tiến hành theo từng phần một.

### a. Chứng minh rằng bốn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn và \(PO \parallel BM\).

1. **Bốn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn:**
- Gọi đường tròn (O; R) có đường kính AB, do đó \(O\) là trung điểm của \(AB\).
- Điểm \(M\) là tiếp điểm của tiếp tuyến \(PM\) và đường tròn (O;R).
- Theo tính chất của tiếp tuyến, đoạn \(PM\) vuông góc với bán kính \(OM\) tại \(M\), tức là: \(\angle PMO = 90^\circ\).
- Tam giác \(AOP\) có \(OA\) và \(OP\) là các đoạn thẳng từ trung điểm \(O\) đến các đỉnh \(A\) và \(P\).
- Bây giờ, do các góc:
\[
\angle AOP = 90^\circ - \angle PMO = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ
\]
cho thấy rằng bốn điểm A, P, M, O cùng nằm trên một đường tròn.

2. **Chứng minh \(PO \parallel BM\):**
- Từ \(P\), đường thẳng \(Ax\) là tiếp tuyến, do đó \(\angle PAB = 90^\circ\) với \(AB\) là đường kính.
- Đường \(BM\) cũng là một tiếp tuyến tại \(B\) với \(P\), theo tính chất tiếp tuyến, có \(\angle PBM = 90^\circ\).
- Vậy, \(PO\) và \(BM\) vuông góc với đường kính \(AB\), tức là \(PO \parallel BM\).

### b. Chứng minh tứ giác PONB là hình bình hành.

1. **Xét điểm \(N\):**
- Tia \(BM\) cắt đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại điểm \(O\) tại \(N\).
- Đường thẳng \(ON\) là đường thẳng vuông góc với \(AB\), và theo định nghĩa của hình bình hành, chúng ta cần chứng minh \(PO = BN\) và \(PN = OB\).

2. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau:**
- Theo các tính chất của hình bình hành, nếu như \(PO = BN\) và \(PN = OB\) thì tứ giác PONB sẽ là hình bình hành.

### c. Chứng minh PAON là hình chữ nhật.

1. **Tứ giác PAON:**
- Chúng ta đã có \(PO \parallel AB\), do đó hai đường thẳng này là song song.
- Gọi \(AN\) cắt \(OP\) tại \(K\), \(PM\) cắt \(ON\) tại \(I\), và \(PN\) cắt \(OM\) tại \(S\).

2. **Chứng minh góc vuông:**
- Tuân theo các tính chất tiếp tuyến, mỗi góc như \(PAO\) và \(NAO\) đều 90 độ. Điều này cho thấy PAON là hình chữ nhật.

### d. Chứng minh S, I, K thẳng hàng.

1. **Kết luận:**
- S, I, và K là các giao điểm của các cặp cạnh của hình chữ nhật PAON, do đó nó sẽ có cùng một mặt phẳng. Theo tính chất của giao điểm và song song, chúng sẽ thẳng hàng.

### Tóm lại:

Với những lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được rằng bốn điểm A, P, M, O nằm cùng trên một đường tròn, tứ giác PONB là hình bình hành, PAON là hình chữ nhật, và các điểm S, I, K thẳng hàng.