X+3/căn x tìm giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \frac{x + 3}{\sqrt{x}} \), ta có thể biến đổi biểu thức này và sử dụng các phương pháp tối ưu hóa.

Đặt \( f(x) = \frac{x + 3}{\sqrt{x}} \).

Để đơn giản hóa, ta có thể viết lại \( f(x) \) như sau:

\[
f(x) = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}}.
\]

Gọi \( t = \sqrt{x} \), thì \( x = t^2 \) và \( t \geq 0 \). Lúc này, biểu thức trở thành:

\[
f(t) = t + \frac{3}{t}.
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(t) \), ta lấy đạo hàm và bằng 0:

\[
f'(t) = 1 - \frac{3}{t^2}.
\]

Giải phương trình \( f'(t) = 0 \):

\[
1 - \frac{3}{t^2} = 0 \implies t^2 = 3 \implies t = \sqrt{3}.
\]

Bây giờ, ta tính giá trị của \( f(t) \) tại cực trị:

\[
f(\sqrt{3}) = \sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.
\]

Để xác nhận rằng đây là giá trị nhỏ nhất, ta có thể xét dấu của đạo hàm \( f'(t) \):

- Với \( t < \sqrt{3} \), \( f'(t) < 0 \) (hàm giảm).
- Với \( t > \sqrt{3} \), \( f'(t) > 0 \) (hàm tăng).

Vì vậy, \( t = \sqrt{3} \) là điểm cực tiểu.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \frac{x + 3}{\sqrt{x}} \) là:

\[
2\sqrt{3}.
\]