Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y + 2028 \), ta có thể sử dụng phương pháp tính đạo hàm.

### Bước 1: Viết biểu thức theo dạng chuẩn

Biểu thức có thể viết lại như sau:

\[
A = 2x^2 + 2xy + y^2 + 2x - 2y + 2028
\]

### Bước 2: Tính đạo hàm và tìm điểm cực tiểu

Ta sẽ tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \).

\[
\frac{\partial A}{\partial x} = 4x + 2y + 2
\]

\[
\frac{\partial A}{\partial y} = 2y + 2x - 2
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0

Đặt đạo hàm bằng 0:

1. \( 4x + 2y + 2 = 0 \) (1)
2. \( 2y + 2x - 2 = 0 \) (2)

Giải (2) ta có:

\[
2y + 2x - 2 = 0 \Rightarrow y + x = 1 \Rightarrow y = 1 - x
\]

Thay vào (1):

\[
4x + 2(1 - x) + 2 = 0
\]

Giải:

\[
4x + 2 - 2x + 2 = 0 \Rightarrow 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2
\]

Thay \( x = -2 \) vào \( y = 1 - x \):

\[
y = 1 - (-2) = 3
\]

### Bước 4: Tính giá trị của biểu thức tại \( (x, y) = (-2, 3) \)

Thay \( x = -2 \) và \( y = 3 \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = 2(-2)^2 + 3^2 + 2(-2)(3) + 2(-2) - 2(3) + 2028
\]

Tính từng phần:

\[
= 2 \cdot 4 + 9 - 12 - 4 - 6 + 2028
\]

\[
= 8 + 9 - 12 - 4 - 6 + 2028
\]

\[
= 2028 - 5 = 2023
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là **2023**.