Để chứng minh tứ giác AHCD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng:

1. Hai cạnh AD và HC song song và bằng nhau.
2. Hai cạnh AH và CD song song và bằng nhau.
3. Tất cả các góc của tứ giác AHCD đều là góc vuông.

### Chứng minh tứ giác AHCD là hình chữ nhật

1. **Cạnh AH đứng vuông góc với AC:**
- Do AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC trong tam giác ABC, nên \( AH \perp BC \).
- Nếu C và D là hai điểm trên đường thẳng AC, thì \( AH \perp AC \).

2. **Các đoạn thẳng:**
- \( H \) là trung điểm của \( AC \), vì vậy \( AH \) chia cạnh \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau.

3. **Góc vuông:**
- Vì \( AH \perp AC \) và tương tự với các cạnh còn lại nên mọi góc của tứ giác AHCD đều là góc vuông.

Từ các điều trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác AHCD là hình chữ nhật.

### Điều kiện cho tam giác ABC

Để tam giác ABC có tứ giác AHCD là hình chữ nhật, tam giác ABC cần có tính chất sau:

- **Góc A phải là góc vuông**: Điều này giúp đảm bảo rằng đường cao từ A đến cạnh BC (tức là AH) sẽ tạo ra một góc vuông tại điểm H, là nơi hạ chiều cao.

Nếu A không phải là góc vuông, tứ giác AHCD sẽ không đủ điều kiện để trở thành hình chữ nhật.