Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \( m \).

Phương trình đã cho là:

\[
x^2 + 2(m-1)x + (4m - 11) = 0
\]

Để phương trình bậc hai này luôn có nghiệm, chúng ta cần kiểm tra điều kiện về delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Với \( a = 1 \), \( b = 2(m-1) \), và \( c = 4m - 11 \).

Tính delta:

\[
\Delta = [2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m - 11)
\]
\[
= 4(m-1)^2 - 4(4m - 11)
\]
\[
= 4[(m-1)^2 - (4m - 11)]
\]

Giải nén biểu thức trong ngoặc:

\[
(m-1)^2 - 4m + 11 = m^2 - 2m + 1 - 4m + 11 = m^2 - 6m + 12
\]

Ta cần đảm bảo rằng:

\[
m^2 - 6m + 12 \geq 0
\]

Bất phương trình này là một parabola hướng lên. Đỉnh của nó có tọa độ:

\[
m = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3
\]

Tính giá trị delta để kiểm tra:

\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12
\]

Vì delta < 0, nên phương trình không có nghiệm với hai nghiệm phân biệt. Tuy nhiên, vì \( m^2 - 6m + 12 \) luôn không âm, phương trình \( m^2 - 6m + 12 \geq 0 \) luôn đúng với mọi \( m \).

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \( m \).

### b) Tìm tất cả các giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \) thỏa mãn hệ thức

\[
2(x_1 - 1)^2 + (6 - x_2)(x_1x_2 + 11) = 72
\]

Để có hai nghiệm phân biệt, delta cần dương:

\[
\Delta = (2(m-1))^2 - 4(4m - 11) > 0
\]

Tính toán:

\[
m^2 - 6m + 12 > 0
\]

Hệ thức đã cho có thể được chuyển đổi thành biểu thức:

\[
2(x_1 - 1)^2 + (6 - x_2)(x_1x_2 + 11) - 72 = 0
\]

Sử dụng \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2(m-1)}{1} = -2m + 2 \) và \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 4m - 11 \).

Giải hệ phương trình trên để tìm giá trị cụ thể của \( m \).

### Kết luận

Giá trị chi tiết cụ thể của \( m \) cần được xác định từ biểu thức và điều kiện. Bạn có thể tiếp tục làm rõ điều này hoặc thử nghiệm với các giá trị cụ thể để xác định tối ưu của \( m \).