Để giải phương trình \( 3\sqrt{3} x^3 + 2x^3 + 2 + 3\sqrt{3} \cdot 1x^3 + 21x^3 + 2 = 2 \), ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. **Đơn giản hóa phương trình**:
- Kết hợp các hạng tử tương đồng:
\[
(3\sqrt{3} + 2 + 3\sqrt{3} + 21)x^3 + 2 + 2 = 2
\]
- Tính toán hệ số của \( x^3 \):
\[
(6\sqrt{3} + 23)x^3 + 4 = 2
\]

2. **Chuyển vế**:
- Chuyển hạng tử tự do về bên phải:
\[
(6\sqrt{3} + 23)x^3 = 2 - 4
\]
\[
(6\sqrt{3} + 23)x^3 = -2
\]

3. **Giải tìm \( x^3 \)**:
\[
x^3 = \frac{-2}{6\sqrt{3} + 23}
\]

4. **Tìm giá trị \( x \)**:
- Để tìm \( x \), lấy căn bậc ba:
\[
x = \sqrt[3]{\frac{-2}{6\sqrt{3} + 23}}
\]

Đến đây, chúng ta đã có giá trị của \( x \). Tùy thuộc vào giá trị số cụ thể của \( 6\sqrt{3} + 23 \) để tính giá trị cuối cùng cho \( x \).

Ta có thể tính giá trị gần đúng của \( 6\sqrt{3} + 23 \):
- \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) nên \( 6\sqrt{3} \approx 6 \cdot 1.732 \approx 10.392 \)
- \( 6\sqrt{3} + 23 \approx 10.392 + 23 \approx 33.392 \)

Giả sử ta muốn tìm giá trị gần đúng cho \( x \):

\[
x \approx \sqrt[3]{\frac{-2}{33.392}} \approx \sqrt[3]{-0.0598}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
x \approx -0.385
\]

Kết luận: Phương trình có nghiệm:
\[
x = \sqrt[3]{\frac{-2}{6\sqrt{3} + 23}}
\]