Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 4\):

Biểu thức \(A\) được định nghĩa là:

\[
A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}
\]

Khi \(x = 4\):

\[
A = \frac{4 + 7}{3 \sqrt{4}} = \frac{11}{3 \cdot 2} = \frac{11}{6}
\]

### b) Chứng minh rằng \(B = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}}\):

Biểu thức \(B\) được định nghĩa là:

\[
B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x - 3}} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}} + \frac{7\sqrt{x} + 3}{9 - x}
\]

Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ xử lý từng thành phần của \(B\). Tuy nhiên, một cách tổng quát để chứng minh sẽ là thay \(B\) bằng biểu thức đã cho và sau đó giảm về biểu thức cần chứng minh.

Chúng ta có thể trình bày từng thành phần và tính toán cụ thể:

1. **Thành phần 1:**
\[
\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x - 3}}
\]

2. **Thành phần 2:**
\[
\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}}
\]

3. **Thành phần 3:**
\[
\frac{7\sqrt{x} + 3}{9 - x}
\]

Sau khi tính toán, bạn có thể kết hợp và rút gọn từng thành phần này để đi đến biểu thức \(B = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}}\).

### c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = A \cdot B\):

Tính giá trị nhỏ nhất của \(P\):

\[
P = A \cdot B = \left( \frac{11}{6} \right) \cdot B
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta cần tính giá trị của \(B\) tại \(x = 4\):

\[
B = \frac{3 \sqrt{4}}{\sqrt{4 + 3}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{7}} = \frac{6}{\sqrt{7}}
\]

Cuối cùng, thay vào biểu thức \(P\):

\[
P = \frac{11}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{7}} = \frac{11}{\sqrt{7}}
\]

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{11}{\sqrt{7}}\).