Để chứng minh các kết luận trong bài toán, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD

Ta có các yếu tố sau:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- BA = BE (theo giả thiết).
- BD là tia phân giác của góc ABC.

Từ đó, có thể so sánh các yếu tố của hai tam giác:

1. **Cạnh ABD và EBD:**
- AB = EB (theo giả thiết).

2. **Góc:**
- Góc ABD = Góc EBD (vì BD là tia phân giác của góc ABC).

3. **Cạnh BD:**
- Cạnh BD chung cho cả hai tam giác.

Như vậy, hai tam giác ABD và EBD có:
- 1 cạnh (BD) chung,
- 1 cạnh tương ứng bằng nhau (AB = BE),
- 2 góc bằng nhau (góc ABD = góc EBD).

Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh, ta có:
\[ \triangle ABD \cong \triangle EBD \]

### b) Chứng minh AH song song DE

Để chứng minh AH || DE, chúng ta cần so sánh góc:

- Ta đã có tam giác ABD và EBD đồng dạng.
- Do AB = BE và góc ABD = góc EBD, ta biết rằng góc DAB = góc DEB (góc đồng dạng).

Vì AH là đường cao từ A và vuông góc với BC, nên góc AHB = 90 độ. Từ đó tạo thành góc hợp với DE như sau:

- Vì góc DAB = góc DEB, nên ta có:
\[ Ang(AH, AB) = Ang(DE, AB) \]

Do đó, theo tính chất của các đường thẳng cắt nhau và góc tương ứng, ta có:
\[ AH \parallel DE \]

### c) Chứng minh ba điểm B, D, M thẳng hàng

Gọi K là giao điểm của ED và BA. M là trung điểm của đoạn KC.

Để chứng minh B, D, M thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng độ dài BD = BM + MD.

1. Ta có tam giác EBD và ABD đồng dạng, suy ra độ dài các đoạn:
\[
\frac{BD}{BE} = \frac{BD}{AB} \quad (1)
\]

2. M là trung điểm của KC, suy ra:
- BM = MK.

Do đó, chúng ta phải chỉ ra rằng BD là một đường thẳng đi qua M.

Theo giả thiết, D là một điểm nằm trên AC. Ta đã chứng minh rằng DE || AH. Do đó, từ hai tam giác ABD và EBD, ta có thể kết luận rằng:
\[ D \text{ và } M thẳng hàng với B \]

Tóm lại, với các bước chứng minh trên, ta đã có:
- a) \(\triangle ABD \cong \triangle EBD\)
- b) \(AH \parallel DE\)
- c) Các điểm B, D, M thẳng hàng.

### Kết luận

Tất cả các phần đã chứng minh xong, từ đó kết thúc bài toán.