Chúng ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
\frac{1}{c} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)
\]

Ta nhân cả hai vế với \(2ab c\) (vì \(abc \neq 0\)) để loại bỏ phân số:

\[
2ab = abc \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)
\]

Khi rút gọn, ta có:

\[
2ab = bc + ac
\]

Chuyển \(bc\) và \(ac\) sang bên trái, ta có:

\[
2ab - ac - bc = 0
\]

Hoặc viết lại dưới dạng:

\[
2ab - ac - bc = 0
\]

Ta có thể sắp xếp lại phương trình này:

\[
2ab - ac = bc
\]

Chia cả hai vế cho \(c\):

\[
\frac{2ab}{c} - a = b
\]

Sắp xếp lại để có được biểu thức cho \(\frac{a}{b}\):

\[
\frac{2ab}{c} = a + b
\]

Giả sử ta tìm tỉ số \(\frac{a}{b}\). Ta viết lại biểu thức trên:

\[
2ab = (a + b)c
\]

Chia cả hai vế cho \(b\):

\[
2a = \frac{(a+b)c}{b}
\]

Điều này cho thấy mối liên hệ giữa \(a\), \(b\), và \(c\). Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b} = \frac{a - c}{c - b}
\]

Bắt đầu từ

\[
\frac{a}{b} = \frac{a - c}{c - b}
\]

Ta nhân chéo:

\[
a(c - b) = b(a - c)
\]

Giải phương trình này sẽ cho phép ta kiểm tra xem hai tỉ số có bằng nhau hay không.

Mở rộng và thu gọn:

\[
ac - ab = ab - bc
\]

Ta sẽ sắp xếp lại:

\[
ac + bc = 2ab
\]

Điều này trở thành biểu thức ban đầu mà ta đã chứng minh (2ab = ac + bc).

Vậy nên, ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b} = \frac{a - c}{c - b}
\]

với điều kiện \(abc \neq 0\) và \(b \neq c\).

Kết luận:

\(\frac{a}{b} = \frac{a - c}{c - b}\) đã được chứng minh.