Chứng minh rằng phương trình:

Để chứng minh phương trình \(2x^3 - 6x + 1 = 0\) có 3 nghiệm trong khoảng \((-2, 2)\), chúng ta có thể sử dụng định lý Bolzano và sự biến thiên của hàm số.

Đầu tiên, định nghĩa hàm số:
\[
f(x) = 2x^3 - 6x + 1.
\]

Tiếp theo, tính đạo hàm \(f'(x)\) để tìm các điểm cực trị:
\[
f'(x) = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1) = 6(x - 1)(x + 1).
\]
Giải \(f'(x) = 0\) sẽ cho chúng ta các điểm cực trị ở \(x = -1\) và \(x = 1\).

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của hàm số tại các điểm quan trọng và tại biên của khoảng:
\[
f(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2) + 1 = 2(-8) + 12 + 1 = -16 + 12 + 1 = -3,
\]
\[
f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 1 = 2(-1) + 6 + 1 = -2 + 6 + 1 = 5,
\]
\[
f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = 2 - 6 + 1 = -3,
\]
\[
f(2) = 2(2)^3 - 6(2) + 1 = 2(8) - 12 + 1 = 16 - 12 + 1 = 5.
\]

Bây giờ chúng ta có:
- \(f(-2) = -3 < 0\)
- \(f(-1) = 5 > 0\)
- \(f(1) = -3 < 0\)
- \(f(2) = 5 > 0\)

Áp dụng định lý Bolzano:
- Do \(f(-2) < 0\) và \(f(-1) > 0\), nên có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((-2, -1)\).
- Do \(f(-1) > 0\) và \(f(1) < 0\), nên có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((-1, 1)\).
- Do \(f(1) < 0\) và \(f(2) > 0\), nên có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((1, 2)\).

Tổng cộng, chúng ta đã tìm thấy 3 nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\) trong khoảng \((-2, 2)\):
1. Một nghiệm trong \((-2, -1)\)
2. Một nghiệm trong \((-1, 1)\)
3. Một nghiệm trong \((1, 2)\)

Vậy, phương trình \(2x^3 - 6x + 1 = 0\) có 3 nghiệm trong khoảng \((-2, 2)\).