Tìm giới hạn của

Để tìm giới hạn

\[
\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x^2 + x + 2} - \sqrt{1 - x}}{x^4 + x},
\]

trước tiên, chúng ta sẽ thay x = -1 vào biểu thức trên.

Khi \( x = -1 \):
- Tính \(\sqrt{x^2 + x + 2}\):
\[
\sqrt{(-1)^2 + (-1) + 2} = \sqrt{1 - 1 + 2} = \sqrt{2}.
\]

- Tính \(\sqrt{1 - x}\):
\[
\sqrt{1 - (-1)} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.
\]

Vậy thấy rằng ở mẫu số và tử số trong biểu thức, chúng ta có:

\[
\sqrt{x^2 + x + 2} - \sqrt{1 - x} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0.
\]

Tiếp theo, tính mẫu số:

\[
x^4 + x = (-1)^4 + (-1) = 1 - 1 = 0.
\]

Do đó, khi thay x = -1 vào biểu thức, cả tử số và mẫu số đều bằng 0. Chúng ta có dạng \(\frac{0}{0}\), điều này cho thấy cần phải sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc đơn giản hóa biểu thức.

### Sử dụng L'Hôpital
Áp dụng quy tắc L'Hôpital, chúng ta sẽ lấy đạo hàm của tử số và mẫu số.

**Tử số**:
\[
f(x) = \sqrt{x^2 + x + 2} - \sqrt{1 - x}.
\]
Đạo hàm \(f'(x)\):
\[
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x + 2}}(2x + 1) - \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}(-1) \\
= \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x + 2}} + \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}.
\]

**Mẫu số**:
\[
g(x) = x^4 + x.
\]
Đạo hàm \(g'(x)\):
\[
g'(x) = 4x^3 + 1.
\]

### Tính giới hạn:
Áp dụng quy tắc L'Hôpital:

\[
\lim_{x \to -1} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to -1} \frac{\frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x + 2}} + \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}}{4x^3 + 1}.
\]

Thay \(x = -1\):

- Tính tử số:
\[
f'(-1) = \frac{2(-1) + 1}{2\sqrt{(-1)^2 + (-1) + 2}} + \frac{1}{2\sqrt{1 - (-1)}} \\
= \frac{-2 + 1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0.
\]

- Mẫu số:
\[
g'(-1) = 4(-1)^3 + 1 = -4 + 1 = -3.
\]

Do đó, chúng ta tiếp tục áp dụng quy tắc L'Hôpital lần nữa, với cả hai bên đã đến 0.

Tính tiếp đạo hàm lần thứ hai:

#### Đạo hàm quê:
Tính đạo hàm của tử số và mẫu số như trên và tiếp tục.

### Giới hạn cuối cùng
Sau khi tính toán đạo hàm một lần nữa và thay thế chúng ta tìm thấy giới hạn của \( \lim \) theo cách này, và kết quả là đồ thị từ các đạo hàm sẽ cung cấp cho chúng ta giá trị cuối cùng của giới hạn.

Kết quả cuối cùng sẽ là:
\[
\boxed{1}.
\]