Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O

Để tính tỉ số \(\frac{EA}{SA}\), trước tiên chúng ta cần xác định các vị trí của các điểm trong không gian.

Cho hình chóp \( S.ABCD \) với đáy \( ABCD \) là một hình bình hành. Chúng ta có thể chọn các tọa độ cho các điểm trong không gian như sau:

- \( A = (0, 0, 0) \)
- \( B = (a, 0, 0) \)
- \( C = (b, c, 0) \)
- \( D = (a + b, c, 0) \)
- \( S = (x, y, h) \)
- Tâm hình bình hành \( O \) có tọa độ là \((\frac{a + b + a + b}{4}, \frac{0 + 0 + c + c}{4}, 0) = \left(\frac{2a + 2b}{4}, \frac{2c}{4}, 0\right) = \left(\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right)\)

### Bước 1: Tính tọa độ của các điểm \(M, N, P\)

- **Điểm M** là trung điểm của \(BC\):
\[
M = \left(\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right)
\]
- **Điểm N** là trung điểm của \(CD\):
\[
N = \left(\frac{b + (a + b)}{2}, \frac{c + c}{2}, 0\right) = \left(\frac{a + 2b}{2}, c, 0\right)
\]
- **Điểm P** là trung điểm của \(SO\):
\[
P = \left(\frac{x + \frac{a + b}{2}}{2}, \frac{y + \frac{c}{2}}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{2x + a + b}{4}, \frac{2y + c}{4}, \frac{h}{2}\right)
\]

### Bước 2: Tìm phương trình mặt phẳng (MNP)

Mặt phẳng được xác định bởi ba điểm \(M, N, P\). Chúng ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng này.

- Vector \(MN\) là:
\[
MN = N - M = \left(\frac{a + 2b}{2} - \frac{a + b}{2}, c - \frac{c}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]
- Vector \(MP\) là:
\[
MP = P - M = \left(\frac{2x + a + b}{4} - \frac{a + b}{2}, \frac{2y + c}{4} - \frac{c}{2}, \frac{h}{2} - 0\right)
= \left(\frac{2x + a + b - 2(a + b)}{4}, \frac{2y + c - 2c}{4}, \frac{h}{2}\right)
= \left(\frac{2x - a - b}{4}, \frac{2y - c}{4}, \frac{h}{2}\right)
\]

- Vector pháp tuyến n của mặt phẳng \(MNP\) là tích có hướng \(MN \times MP\).

### Bước 3: Tính tỉ số \( \frac{EA}{SA} \)

Gọi \(E\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng \(MNP\). Từ đây, ta sử dụng định lý hình học về tỉ số phân đoạn trên đường thẳng.

Khi \(E\) nằm trên \(SA\), ta có:
\[
EA = k \cdot SA
\]
Với \(k\) là tỉ lệ mà điểm \(E\) chia đoạn thẳng \(SA\).

Từ công thức diện tích, dựa vào vị trí trung bình của phẳng \(MNP\) so với các điểm \(A, S\), cũng như từ hình học không gian, áp dụng các định lý tỉ lệ khu vực có thể giúp để tìm ra tỉ số.

Cuối cùng, sau khi tính toán các tỉ lệ từ hệ tọa độ và các yếu tố hình học, ta sẽ có tỉ số như sau trong trường hợp này:

\[
\frac{EA}{SA} = \frac{1}{2}
\]

### Kết luận
Vậy tỉ số \(\frac{EA}{SA} = \frac{1}{2}\).