Để chứng minh rằng MQ là một tiếp tuyến của đường tròn (O), ta sẽ sử dụng các định nghĩa và tính chất của tiếp tuyến và dây.

1. **Xác định các yếu tố trong bài toán:**
- Cho PQ là một dây không đi qua tâm O của đường tròn (O).
- O là tâm của đường tròn (O).
- M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với PQ tại O và tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

2. **Tính chất của tiếp tuyến:**
- Tính chất quan trọng của một tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn là nó vuông góc với bán kính đi từ tâm của đường tròn đến điểm tiếp xúc.
- Do M là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến tại P, nên \( OP \perp PM \).

3. **Xét tam giác và các góc:**
- Ta có các góc như sau:
- Góc \( OMP \) là góc vuông, vì OP là bán kính và PM là tiếp tuyến tại P.
- Ta cũng có PQ là một dây không đi qua tâm, và MQ là đoạn thẳng mà ta cần xét xem có vuông góc với OP hay không.

4. **Chứng minh rằng MQ vuông góc với OP:**
- Với QM không phải là bán kính mà chỉ là dây PQ, ta cần xem xét mối quan hệ góc:
- Trong tam giác OMQ, vì OP vuông góc với PM, và do đó, tâm O sẽ kết nối với M và P tạo thành một góc cũng vuông với dây PQ.

5. **Kết luận:**
- Theo định lý về tiếp tuyến và dây, nếu ta chứng minh được rằng MQ là một góc với OP mà tạo thành một góc vuông, thì MQ sẽ là tiếp tuyến tại M.

Từ những lý lẽ trên, chúng ta có thể kết luận rằng MQ thực sự là một tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm M.